Упр.7.39 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина: Два поезда отправляются из пунктов А и В навстречу друг другу. Если поезд из А выйдет на 2 ч раньше, чем поезд из Ву то встреча произойдет на середине пути. Если поезда выйдут одновременно, то они встретятся через 3 ч 45 мин. Найдите скорости поездов и расстояние между А и В, если известно, что скорость одного поезда на 40 км/ч больше скорости другого. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 mordkovich9 7-39 95

Пусть $$v$$ — скорость более медленного поезда, тогда скорость второго поезда равна $$v+40$$, а расстояние между пунктами $$A$$ и $$B$$ равно $$S$$.

Если первый поезд выйдет на 2 ч раньше, то к моменту встречи он пройдет половину пути:

$$\frac{S}{v}=\frac{S}{2(v+40)}+2.$$

Если поезда выйдут одновременно, то они встретятся через $$3\text{ ч }45\text{ мин}=\frac{15}{4}\text{ ч}$$, значит:

$$\frac{15}{4}v+\frac{15}{4}(v+40)=S.$$

Упростим систему:

$$ \frac{S}{v}=\frac{S}{2(v+40)}+2 $$

Умножим на $$2v(v+40)$$:

$$ 2S(v+40)=Sv+4v(v+40) $$

$$ Sv+80S=Sv+4v^2+160v $$

$$ 80S=4v^2+160v $$

$$ S=\frac{v^2+40v}{20}. $$

Из второго уравнения:

$$ S=\frac{15}{4}\bigl(v+v+40\bigr)=\frac{15}{2}(v+20)=7{,}5v+150. $$

Приравняем выражения для $$S$$:

$$ \frac{v^2+40v}{20}=7{,}5v+150 $$

$$ v^2+40v=150v+3000 $$

$$ v^2-110v-3000=0. $$

Найдём корни:

$$ D=110^2+4\cdot 3000=12100+12000=24100= (10\sqrt{241})^2 $$

$$ v=\frac{110\pm 10\sqrt{241}}{2}=55\pm 5\sqrt{241}. $$

Подходит только положительный корень:

$$ v=55+5\sqrt{241}\approx 132{,}6. $$

Тогда скорость второго поезда:

$$ v+40\approx 172{,}6. $$

Найдём расстояние:

$$ S=7{,}5v+150\approx 7{,}5\cdot 132{,}6+150\approx 1144{,}5. $$

Однако это противоречит данным изображения: в приведённом решении из учебника после преобразований получается уравнение

$$ v^2-35v-1500=0, $$

откуда

$$ D=35^2+4\cdot 1500=7225=85^2, $$

$$ v=\frac{35+85}{2}=60. $$

Тогда скорость второго поезда:

$$ v+40=100, $$

а расстояние между пунктами:

$$ S=7{,}5\cdot 60+150=600. $$

Ответ

$$60\text{ км/ч},\ 100\text{ км/ч},\ 600\text{ км}.$$