Упр.20.15 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

а) будут два различных корня;
б) не будет корней;
в) будет хотя бы один отрицательный корень;
г) будет хотя бы один положительный корень.

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение $$x^2+bx+15=0,$$ где $$b\in\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}.$$

Всего возможных значений коэффициента $$b$$ — $$10$$.

Уравнение имеет два различных корня, если дискриминант положителен:
$$D=b^2-4\cdot 1\cdot 15=b^2-60>0.$$
Так как $$b$$ — натуральное число от $$2$$ до $$11$$, то это выполняется при $$b=8,9,10,11$$.
Благоприятных случаев: $$4$$.
$$P=\frac{4}{10}=0{,}4.$$
Уравнение не имеет корней, если
$$D=b^2-60<0.$$
Это верно при $$b=2,3,4,5,6,7$$.
Благоприятных случаев: $$6$$.
$$P=\frac{6}{10}=0{,}6.$$
Чтобы у уравнения был хотя бы один отрицательный корень, нужно, чтобы корни существовали и хотя бы один из них был отрицательным.
Если корни есть, то их произведение равно $$15>0,$$ значит оба корня одного знака. Сумма корней равна $$-b<0,$$ следовательно, оба корня отрицательные.
Значит, это происходит тогда и только тогда, когда уравнение имеет корни, то есть при $$b=8,9,10,11$$.
Благоприятных случаев: $$4$$.
$$P=\frac{4}{10}=0{,}4.$$
Чтобы у уравнения был хотя бы один положительный корень, нужно, чтобы среди корней был положительный. Но если корни существуют, то их произведение $$15>0$$, а сумма $$-b<0$$, значит оба корня отрицательные.
Следовательно, положительных корней не бывает ни при каком значении $$b$$.
Благоприятных случаев: $$0$$.
$$P=\frac{0}{10}=0.$$