Упр.2.35 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

а) f(x) > 0;
б) f(x) < 0; в) f(х) >= 0;
г) f(x) <= 0.

Рассмотрим функцию

$$f(x)=x(x-2)^2(x+1)^3(x+5).$$

Нули функции:

$$x=0,\quad x=2,\quad x=-1,\quad x=-5.$$

Кратности корней: у числа $$2$$ кратность чётная, у чисел $$0,$$ $$-1,$$ $$-5$$ — нечётная. Поэтому при переходе через точки $$x=0,$$ $$x=-1,$$ $$x=-5$$ знак меняется, а при переходе через $$x=2$$ — не меняется.

Определим знак функции на промежутках:

• при $$x<-5$$: $$f(x)<0$$;
• при $$-5<x<-1$$: $$f(x)>0$$;
• при $$-1<x<0$$: $$f(x)<0$$;
• при $$0<x<2$$: $$f(x)>0$$;
• при $$x>2$$: $$f(x)>0$$.

Тогда:

а) $$f(x)>0$$ при $$-5<x<-1,\; 0<x<2,\; x>2.$$

б) $$f(x)<0$$ при $$x<-5,\; -1<x<0.$$

в) $$f(x)\ge 0$$ при $$-5\le x\le -1,\; x\ge 0.$$

г) $$f(x)\le 0$$ при $$x\le -5,\; -1\le x\le 0,\; x=2.$$

Ответ

а) $$(-5;-1)\cup(0;2)\cup(2;+\infty)$$

б) $$(-\infty;-5)\cup(-1;0)$$

в) $$[-5;-1]\cup[0;+\infty)$$

г) $$(-\infty;-5]\cup[-1;0]\cup\{2\}$$