Упр.17.24 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Александрова, Мишустина 9 класс, Мнемозина: В правильный треугольник со стороной 32 см последовательно вписываются треугольники; вершины каждого последующего треугольника являются серединами сторон предыдущего треугольника. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию. Запишите формулу n-го члена полученной прогрессии. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 mordkovich9 17-24 95

Подробный ответ

Пусть сторона первого треугольника равна $$a_1=32$$ см. Тогда его периметр

$$p_1=3a_1=3\cdot 32=96\text{ см}.$$

Во вписанном треугольнике вершины являются серединами сторон предыдущего, значит его стороны вдвое меньше сторон исходного треугольника. Следовательно, каждый следующий периметр тоже в 2 раза меньше предыдущего:

$$p_2=\frac{1}{2}p_1,\quad p_3=\frac{1}{2}p_2,\quad \ldots$$

Значит, периметры образуют геометрическую прогрессию с первым членом $$p_1=96$$ и знаменателем $$q=\frac{1}{2}.$$

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

$$p_n=p_1q^{\,n-1}=96\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.$$