Упр.14.16 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)
а) y= система
-2x, если x<-0;
корень 3 степени x, если x>0
б) y= система
корень 3 степени x, если x<=1;
1/x, если x>1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y= корень 3 степени x на заданном промежутке:
а) [1; 8]; б) (-8; 0]; в) [-27; 64]; г) [0,125; +бесконечность).
а) $$y=\begin{cases}-2x, & x\le 0,\\ \sqrt[3]{x}, & x>0.\end{cases}$$
Для ветви $$y=-2x$$ возьмём несколько точек:
| $$x$$ | $$0$$ | $$-1$$ |
|---|---|---|
| $$y$$ | $$0$$ | $$2$$ |
Для ветви $$y=\sqrt[3]{x}$$ возьмём точки:
| $$x$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$8$$ |
|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ |
График состоит из двух частей: при $$x\le 0$$ — прямая $$y=-2x$$, при $$x>0$$ — график кубического корня $$y=\sqrt[3]{x}$$.
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Область значений: $$E(f)=[0;+\infty).$$
Функция возрастает при $$x\in(-\infty;0]$$ и убывает при $$x\in[0;+\infty)$$.
Функция ограничена снизу: $$y_{\min}=0.$$
б) $$y=\begin{cases}\sqrt[3]{x}, & x\le 1,\\ \dfrac{1}{x}, & x>1.\end{cases}$$
Для ветви $$y=\sqrt[3]{x}$$ возьмём точки:
| $$x$$ | $$0$$ | $$-1$$ | $$-8$$ | $$1$$ |
|---|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$0$$ | $$-1$$ | $$-2$$ | $$1$$ |
Для ветви $$y=\dfrac{1}{x}$$ возьмём точки:
| $$x$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$4$$ |
|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$1$$ | $$0{,}5$$ | $$0{,}25$$ |
График состоит из графика кубического корня при $$x\le 1$$ и ветви гиперболы при $$x>1$$.
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Область значений: $$E(f)=(-\infty;1].$$
Функция возрастает при $$x\in(-\infty;1]$$ и убывает при $$x\in(1;+\infty)$$.
Функция ограничена сверху: $$y_{\max}=1.$$
Найдём наименьшее и наибольшее значения функции $$y=\sqrt[3]{x}$$ на заданных промежутках.
Функция $$y=\sqrt[3]{x}$$ возрастает на всей области определения, поэтому на отрезке наименьшее значение достигается в левом конце, а наибольшее — в правом.
а) $$[1;8]$$:
$$y_{\min}=\sqrt[3]{1}=1,\qquad y_{\max}=\sqrt[3]{8}=2.$$
б) $$(-8;0]$$:
Наименьшее значение не определено, так как число $$-8$$ не входит в промежуток. Наибольшее значение:
$$y_{\max}=\sqrt[3]{0}=0.$$
в) $$[-27;64]$$:
$$y_{\min}=\sqrt[3]{-27}=-3,\qquad y_{\max}=\sqrt[3]{64}=4.$$
г) $$[0{,}125;+\infty)$$:
$$y_{\min}=\sqrt[3]{0{,}125}=\sqrt[3]{\frac18}=0{,}5,$$
наибольшее значение не определено.
Ответ
а) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=[0;+\infty),\ y_{\min}=0.$$
б) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=(-\infty;1],\ y_{\max}=1.$$
Для $$y=\sqrt[3]{x}$$:
а) $$y_{\min}=1,\ y_{\max}=2.$$
б) $$y_{\max}=0,$$ наименьшее значение не определено.
в) $$y_{\min}=-3,\ y_{\max}=4.$$
г) $$y_{\min}=0{,}5,$$ наибольшее значение не определено.
