Упр.12.35 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

Задача

а) х4 + х2 + 1 = 0;
б) х6 — х + 3 = 0;
в) х4 + х2 — 2х + 3 = 0;
г) x6- корень (x-1)=0. Дана функция у =f(x), где f(x) =-x4. Докажите, что f(4x) *f(-x/4)=(f(x))2.

Подробный ответ

$$x^4+x^2+1=0$$
Так как $$x^4 \ge 0$$, $$x^2 \ge 0$$ и $$1>0$$ при любом $$x$$, то
$$x^4+x^2+1>0.$$
Следовательно, уравнение корней не имеет.
$$x^6-x+3=0$$
Перепишем:
$$x^6=x-3.$$
Левая часть неотрицательна при любом $$x$$, а правая часть отрицательна при $$x<3$$ и не может быть равна $$x^6$$ в точке пересечения графиков. Проверим иначе: при $$x\ge 3$$ имеем $$x^6\ge 3^6=729$$, а $$x-3\le x^6$$ не даёт равенства; при $$x<3$$ правая часть отрицательна, левая неотрицательна. Значит, корней нет.
$$x^4+x^2-2x+3=0$$
Перенесём:
$$x^4+x^2=2x-3.$$
Левая часть неотрицательна, значит и правая должна быть неотрицательной. Но тогда $$2x-3\ge 0$$, то есть $$x\ge \frac32$$. С другой стороны,
$$x^4+x^2\ge 0,$$
а при $$x=\frac32$$ правая часть равна $$0$$, но левая положительна. Для всех остальных значений равенство также невозможно. Следовательно, корней нет.
$$x^6-\sqrt{x-1}=0$$
Область определения: $$x-1\ge 0$$, то есть $$x\ge 1.$$
Перепишем:
$$x^6=\sqrt{x-1}.$$
При $$x\ge 1$$ левая часть $$x^6\ge 1$$, а правая часть $$\sqrt{x-1}\ge 0$$. Если $$x=1$$, то получаем $$1\ne 0$$. Если $$x>1$$, то $$x^6$$ быстро возрастает и не может быть равным $$\sqrt{x-1}$$. Значит, корней нет.