Упр.11.24 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

1, если -2<=x<=1; 2x2-1, если -1

Рассмотрим функцию

$$ f(x)= \begin{cases} 1, & \text{если } -2 \le x \le -1,\\ 2x^2-1, & \text{если } -1 < x \le 1,\\ 1, & \text{если } 1 < x \le 2. \end{cases} $$

1) На промежутке $$-1 < x \le 1$$ график задаётся параболой $$y=2x^2-1$$. Для построения удобно взять точки:

$$ x=-1,\ 0,\ 1 \quad \Rightarrow \quad y=1,\ -1,\ 1. $$

На отрезках $$[-2;-1]$$ и $$[1;2]$$ функция постоянна и равна $$1$$.

2) Область определения:

$$ D(f)=[-2;2]. $$

3) Область значений:

На параболе $$y=2x^2-1$$ при $$x \in [-1;1]$$ получаем $$-1 \le y \le 1$$, а на остальных участках $$y=1$$. Значит,

$$ E(f)=[-1;1]. $$

4) Функция чётная, так как для всех $$x$$ из области определения выполняется $$f(-x)=f(x)$$.

5) На отрезке $$[0;1]$$ функция возрастает.

6) На отрезке $$[-1;0]$$ функция убывает.

7) На отрезках $$[-2;-1]$$ и $$[1;2]$$ функция постоянна.

8) Функция ограничена сверху и снизу:

$$ y_{\min}=-1,\qquad y_{\max}=1. $$

9) Функция непрерывна на всей области определения.

10) На отрезке $$[-1;1]$$ функция выпукла вверх, так как коэффициент при $$x^2$$ положителен.

Ответ

$$ D(f)=[-2;2],\quad E(f)=[-1;1],\quad f(x)\text{ — чётная}. $$
Функция возрастает на $$[0;1]$$, убывает на $$[-1;0]$$, постоянна на $$[-2;-1]$$ и $$[1;2]$$, ограничена: $$y_{\min}=-1$$, $$y_{\max}=1$$.