Упр.10.27 ГДЗ Мордкович Александрова 9 класс (Алгебра)

3/x, если x<0; -x2+2x+2, если 0<=x<=2; x, если 2

Рассмотрим функцию

$$ f(x)= \begin{cases} \dfrac{3}{x}, & x<0,\\ -x^2+2x+2, & 0\le x\le 2,\\ x, & 2<x\le 4. \end{cases} $$

1) Для $$x<0$$ имеем график гиперболы $$y=\dfrac{3}{x}$$.

2) На отрезке $$0\le x\le 2$$ график задаёт парабола $$y=-x^2+2x+2$$.

3) При $$2<x\le 4$$ график — прямая $$y=x$$.

Область определения составляется из всех допустимых промежутков:

$$ D(f)=(-\infty;0)\cup[0;2]\cup(2;4]=(-\infty;4]. $$

Найдём область значений. Для $$x<0$$ функция $$\dfrac{3}{x}$$ принимает все отрицательные значения, то есть $$(-\infty;0)$$. На отрезке $$[0;2]$$ парабола принимает значения от $$2$$ до $$3$$, а на промежутке $$2<x\le 4$$ функция $$y=x$$ даёт значения $$ (2;4]$$. Поэтому

$$ E(f)=(-\infty;0)\cup[2;4]. $$

Промежутки монотонности:

• на $$(-\infty;0)$$ функция $$\dfrac{3}{x}$$ возрастает;
• на $$[0;1]$$ функция $$-x^2+2x+2$$ возрастает;
• на $$[1;2]$$ функция $$-x^2+2x+2$$ убывает;
• на $$[2;4]$$ функция $$y=x$$ возрастает.

Наибольшее значение функции равно $$4$$, наименьшего значения нет.

Функция непрерывна на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;4)$$, а выпукла вверх на $$(-\infty;0]$$ и $$[0;2]$$.

Ответ

$$ D(f)=(-\infty;4],\qquad E(f)=(-\infty;0)\cup[2;4]. $$

Функция возрастает на $$(-\infty;0)$$, $$[0;1]$$ и $$[2;4]$$, убывает на $$[1;2]$$; $$y_{\max}=4$$, $$y_{\min}$$ не существует.