Упр.39.15 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) v((4x-5)/(2x^2-7x-22)); в) v((10-13x-3x^2)/(5x+19));
б) ((x^2-8x+7)/(5x^2-x+1))^(1/3); г) ((x^2-6x+4)/(17+13x-4x^2))^(1/3)? Решите неравенство:
а) (x^3-2x^2-3x)/(9x^2-16)?0;
б) (4x^2-9x)/(x^3-2x^2-x+2)?0;
в) (16x^2-9)/(x^3-3x^2-4x)?0;
г) (x^3+x^2-4x-4)/(x^2-5x)?0.

1. Выражение с корнем не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно.

   а)

   $$\frac{4x-5}{2x^2-7x-22}\ge 0,$$
   $$2x^2-7x-22=(2x+4)(x-5{,}5).$$
   Тогда
   $$\frac{4x-5}{(x+2)(x-5{,}5)}\ge 0.$$
   По знакам получаем:
   $$x\in(-\infty;-2]\cup(1{,}25;5{,}5].$$

   б)

   Для корня третьей степени ограничение только одно: знаменатель не равен нулю.
   $$5x^2-x+1\ne 0.$$
   Дискриминант:
   $$D=(-1)^2-4\cdot 5\cdot 1=1-20=-19<0.$$ Значит, квадратный трёхчлен не обращается в ноль при любых $x$, поэтому $$x\in\mathbb R.$$

   в)

   $$\frac{10-13x-3x^2}{5x+19}\ge 0,$$
   $$\frac{3x^2+13x-10}{5x+19}\le 0,$$
   $$3x^2+13x-10=(x+5)(3x-2).$$
   Тогда
   $$\frac{(x+5)(3x-2)}{5x+19}\le 0.$$
   Критические точки: $x=-5$, $x=-\frac{19}{5}$, $x=\frac23$.
   Получаем
   $$x\in(-5;-\tfrac{19}{5})\cup\left[\tfrac23;+\infty\right).$$

   г)

   Для корня третьей степени нужно лишь
   $$17+13x-4x^2\ne 0.$$
   Решим уравнение
   $$4x^2-13x-17=0.$$
   $$D=(-13)^2-4\cdot 4\cdot(-17)=169+272=441,$$
   $$x_{1,2}=\frac{13\pm 21}{8}.$$
   Отсюда
   $$x_1=-1,\qquad x_2=\frac{17}{4}.$$
   Значит,
   $$x\ne -1,\quad x\ne \frac{17}{4}.$$

2. а)

   $$\frac{x^3-2x^2-3x}{9x^2-16}\le 0,$$
   $$\frac{x(x^2-2x-3)}{(3x-4)(3x+4)}\le 0,$$
   $$\frac{x(x+1)(x-3)}{(3x-4)(3x+4)}\le 0.$$
   По знакам на промежутках:
   $$x\in(-\infty;-\tfrac43)\cup[-1;0]\cup(\tfrac43;3].$$

   б)

   $$\frac{4x^2-9x}{x^3-2x^2-x+2}\ge 0,$$
   $$\frac{x(4x-9)}{(x+1)(x-1)(x-2)}\ge 0.$$
   Критические точки: $x=-1,0,1,\frac94,2$.
   После исследования знаков получаем
   $$x\in(-1;0]\cup(1;2)\cup\left[\frac94;+\infty\right).$$

   в)

   $$\frac{16x^2-9}{x^3-3x^2-4x}\ge 0,$$
   $$\frac{(4x-3)(4x+3)}{x(x-4)(x+1)}\ge 0.$$
   Критические точки: $x=-1,-\frac34,0,\frac34,4$.
   Тогда
   $$x\in(-1;-\tfrac34]\cup(0;\tfrac34]\cup(4;+\infty).$$

   г)

   $$\frac{x^3+x^2-4x-4}{x^2-5x}\le 0,$$
   $$\frac{(x+1)(x^2-4)}{x(x-5)}\le 0,$$
   $$\frac{(x+1)(x-2)(x+2)}{x(x-5)}\le 0.$$
   По знакам:
   $$x\in(-\infty;-2]\cup[-1;0)\cup[2;5).$$

Ответ

1) а) $$(-\infty;-2]\cup(1{,}25;5{,}5]$$; б) $$\mathbb R$$; в) $$(-5;-\tfrac{19}{5})\cup[\tfrac23;+\infty)$$; г) $$x\ne -1,\ x\ne \tfrac{17}{4}$$.
2) а) $$(-\infty;-\tfrac43)\cup[-1;0]\cup(\tfrac43;3]$$; б) $$(-1;0]\cup(1;2)\cup[\tfrac94;+\infty)$$; в) $$(-1;-\tfrac34]\cup(0;\tfrac34]\cup(4;+\infty)$$; г) $$(-\infty;-2]\cup[-1;0)\cup[2;5)$$.