Упр.37.20 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

б) Найдите сумму первых ста членов арифметической прогрессии, если сумма двадцать шестого и сорок первого членов равна 160, а разность двадцатого и десятого членов — 40.

а) Двузначные числа, большие 25, которые при делении на 5 дают остаток 2, образуют арифметическую прогрессию:

$$27,\ 32,\ 37,\ \ldots,\ 97$$

Здесь $$a_1=27,$$ $$a_n=97,$$ $$d=5.$$

Найдём число членов прогрессии:

$$a_n=a_1+d(n-1)$$

$$97=27+5(n-1)$$

$$97=27+5n-5$$

$$5n=75$$

$$n=15$$

Теперь найдём сумму первых 15 членов:

$$S_{15}=\frac{a_1+a_{15}}{2}\cdot 15$$

$$S_{15}=\frac{27+97}{2}\cdot 15$$

$$S_{15}=62\cdot 15=930$$

б) Пусть $$a_1$$ — первый член, $$d$$ — разность прогрессии. Тогда

$$a_{26}+a_{41}=160,$$

$$a_{20}-a_{10}=40.$$

Используем формулу $$a_n=a_1+d(n-1).$$

Из второго условия:

$$a_{20}-a_{10}=(a_1+19d)-(a_1+9d)=40$$

$$10d=40$$

$$d=4$$

Из первого условия:

$$a_{26}+a_{41}=(a_1+25d)+(a_1+40d)=160$$

$$2a_1+65d=160$$

$$2a_1+65\cdot 4=160$$

$$2a_1+260=160$$

$$2a_1=-100$$

$$a_1=-50$$

Найдём сумму первых 100 членов:

$$S_{100}=\frac{2a_1+99d}{2}\cdot 100$$

$$S_{100}=50(2a_1+99d)$$

$$S_{100}=50(-100+396)$$

$$S_{100}=50\cdot 296=14800$$

Ответ

а) $$930$$; б) $$14800$$.