Упр.23.16 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
б) Представьте функцию y=f(x), где f(x)=3x^5-7x^4+11x^3-4x^2-3x+5, в виде суммы чётной и нечётной функций. Решите уравнение:
а) (4-5x)^(1/4)=2; г) (7-4x)^(1/3)=4;
б) (x^2-9x-19)^(1/3)=-3; д) (2x^2+6x-57)^(1/7)=-1;
в) (x^2-10x+25)^(1/4)=2; е) (x^2+7x+13)^(1/6)=1.
а) Разобьём многочлен на чётную и нечётную части:
$$f(x)=5x^6+8x^5-3x^4-2x^3+x^2-1=(5x^6-3x^4+x^2-1)+(8x^5-2x^3).$$
Здесь $$5x^6-3x^4+x^2-1$$ — чётная функция, а $$8x^5-2x^3$$ — нечётная.
б)
$$f(x)=3x^5-7x^4+11x^3-4x^2-3x+5=(5-7x^4-4x^2)+(3x^5+11x^3-3x).$$
Здесь $$5-7x^4-4x^2$$ — чётная функция, а $$3x^5+11x^3-3x$$ — нечётная.
Решим уравнения.
а)
$$\sqrt[4]{4-5x}=2$$
$$4-5x=2^4=16$$
$$-5x=12,\quad x=-\frac{12}{5}=-2{,}4.$$
б)
$$\sqrt[3]{x^2-9x-19}=-3$$
$$x^2-9x-19=(-3)^3=-27$$
$$x^2-9x+8=0$$
$$D=9^2-4\cdot 1\cdot 8=81-32=49$$
$$x_{1,2}=\frac{9\pm 7}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=8.$$
в)
$$\sqrt[4]{x^2-10x+25}=2$$
$$\sqrt[4]{(x-5)^2}=2$$
$$|x-5|=2^2=4$$
$$x-5=4 \quad \text{или} \quad x-5=-4$$
$$x=9 \quad \text{или} \quad x=1.$$
г)
$$\sqrt[3]{7-4x}=4$$
$$7-4x=4^3=64$$
$$-4x=57,\quad x=-\frac{57}{4}=-14{,}25.$$
д)
$$\sqrt[7]{2x^2+6x-57}=-1$$
$$2x^2+6x-57=(-1)^7=-1$$
$$2x^2+6x-56=0$$
$$x^2+3x-28=0$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-28)=9+112=121$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 11}{2}$$
$$x_1=-7,\quad x_2=4.$$
е)
$$\sqrt[6]{x^2+7x+13}=1$$
$$x^2+7x+13=1$$
$$x^2+7x+12=0$$
$$D=7^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1$$
$$x_{1,2}=\frac{-7\pm 1}{2}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=-3.$$
Ответ
а) $$f(x)=(5x^6-3x^4+x^2-1)+(8x^5-2x^3).$$
б) $$f(x)=(5-7x^4-4x^2)+(3x^5+11x^3-3x).$$
а) $$x=-2{,}4.$$
б) $$x=1,\ 8.$$
в) $$x=1,\ 9.$$
г) $$x=-14{,}25.$$
д) $$x=-7,\ 4.$$
е) $$x=-4,\ -3.$$
