Упр.22.18 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) (a^2+4a-1)/(a^2+4a+3)?1/(a+1);
б) (a^2-5a+11)/(a^2-a-2)?-7/(a+1). Решите уравнение:
а) x^2+(v(x-3))^2=9; в) x^2-(v(2x+3))^2=12;
б) 2x^2+(v(11x-13))^2=50; г) 2x^2+(v(11x-12))^2=28.

1. а)

   $$\frac{a^2+4a-1}{a^2+4a+3}\le \frac1{a+1}$$

   $$\frac{a^2+4a-1}{(a+3)(a+1)}-\frac1{a+1}\le 0$$

   $$\frac{a^2+4a-1-(a+3)}{(a+3)(a+1)}\le 0$$

   $$\frac{a^2+3a-4}{(a+3)(a+1)}\le 0$$

   $$\frac{(a+4)(a-1)}{(a+3)(a+1)}\le 0$$

   Критические точки: $$a=-4,\,-3,\,-1,\,1.$$

   С учётом области определения получаем:

   $$a\in[-4;-3)\cup(-1;1].$$

2. б)

   $$\frac{a^2-5a+11}{a^2-a-2}\le -\frac7{a+1}$$

   $$\frac{a^2-5a+11}{(a+1)(a-2)}+\frac7{a+1}\le 0$$

   $$\frac{a^2-5a+11+7(a-2)}{(a+1)(a-2)}\le 0$$

   $$\frac{a^2+2a-3}{(a+1)(a-2)}\le 0$$

   $$\frac{(a+3)(a-1)}{(a+1)(a-2)}\le 0$$

   Критические точки: $$a=-3,\,-1,\,1,\,2.$$

   $$a\in[-3;-1)\cup[1;2).$$

3. а)

   $$x^2+(\sqrt{x-3})^2=9$$

   $$x^2+x-3-9=0$$

   $$x^2+x-12=0$$

   $$D=1+48=49$$

   $$x=\frac{-1\pm 7}{2}$$

   $$x_1=-4,\quad x_2=3$$

   С учётом условия $$x\ge 3$$ подходит только $$x=3.$$

4. б)

   $$2x^2+(\sqrt{11x-13})^2=50$$

   $$2x^2+11x-13=50$$

   $$2x^2+11x-63=0$$

   $$D=11^2+4\cdot 2\cdot 63=625$$

   $$x=\frac{-11\pm 25}{4}$$

   $$x_1=-9,\quad x_2=\frac72$$

   С учётом условия $$11x-13\ge 0$$ подходит только $$x=\frac72.$$

5. в)

   $$x^2-(\sqrt{2x+3})^2=12$$

   $$x^2-(2x+3)=12$$

   $$x^2-2x-15=0$$

   $$D=4+60=64$$

   $$x=\frac{2\pm 8}{2}$$

   $$x_1=-3,\quad x_2=5$$

   Оба корня удовлетворяют условию $$2x+3\ge 0$$, значит решения: $$x=-3$$ и $$x=5.$$

6. г)

   $$2x^2+(\sqrt{11x-12})^2=28$$

   $$2x^2+11x-12=28$$

   $$2x^2+11x-40=0$$

   $$D=11^2+4\cdot 2\cdot 40=441$$

   $$x=\frac{-11\pm 21}{4}$$

   $$x_1=-8,\quad x_2=\frac52$$

   С учётом условия $$11x-12\ge 0$$ подходит только $$x=\frac52.$$

Ответ

а) $$[-4;-3)\cup(-1;1]$$;
б) $$[-3;-1)\cup[1;2)$$;
уравнения: а) $$3$$, б) $$\frac72$$, в) $$-3,\,5$$, г) $$\frac52$$.