Упр.30.4 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 30.4. Найдите сумму ?(k=1; n; (3^(k+1)·k^2+3^k·k+1)/3^k).

Преобразуем общий член суммы:

$$\frac{3^{k+1}\cdot k^2+3^k\cdot k+1}{3^k}=3k^2+k+\frac{1}{3^k}.$$

Тогда

$$S=\sum_{k=1}^{n}\left(3k^2+k+\frac{1}{3^k}\right)=3\sum_{k=1}^{n}k^2+\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{3^k}.$$

Используем формулы:

$$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$

Геометрическая прогрессия:

$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{3^k}=\frac{\frac13\left(1-\left(\frac13\right)^n\right)}{1-\frac13}=\frac12\left(1-\frac{1}{3^n}\right).$$

Подставим:

$$S=3\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}+\frac12\left(1-\frac{1}{3^n}\right).$$

Упростим:

$$S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}+\frac{n(n+1)}{2}+\frac12-\frac{1}{2\cdot 3^n}.$$

$$S=\frac{n(n+1)(2n+2)}{2}+\frac12-\frac{1}{2\cdot 3^n}=n(n+1)^2+\frac12-\frac{1}{2\cdot 3^n}.$$

Ответ

$$S=n(n+1)^2+\frac12-\frac{1}{2\cdot 3^n}.$$