Упр.29.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 29.9. (Задача Ферма.) Покажите, что если S является суммой бесконечной геометрической прогрессии (b_n), то S/(S-b_1)=b_1/b_2.

Пусть $$S$$ — сумма бесконечной геометрической прогрессии $$\left(b_n\right)$$ с первым членом $$b_1$$ и знаменателем $$q$$. Тогда

$$S=\frac{b_1}{1-q}, \qquad b_2=b_1q.$$

Рассмотрим левую часть:

$$\frac{S}{S-b_1}=\frac{\frac{b_1}{1-q}}{\frac{b_1}{1-q}-b_1}.$$

Приведём знаменатель к общему знаменателю:

$$\frac{S}{S-b_1}=\frac{\frac{b_1}{1-q}}{\frac{b_1-b_1(1-q)}{1-q}}=\frac{\frac{b_1}{1-q}}{\frac{b_1q}{1-q}}.$$

Сократим дроби:

$$\frac{S}{S-b_1}=\frac{b_1}{b_1q}=\frac{1}{q}.$$

С другой стороны,

$$\frac{b_1}{b_2}=\frac{b_1}{b_1q}=\frac{1}{q}.$$

Следовательно,

$$\frac{S}{S-b_1}=\frac{b_1}{b_2}.$$

Ответ

$$\frac{S}{S-b_1}=\frac{b_1}{b_2}.$$