Упр.29.4 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) 0,222…; 3) 0,(28); 5) 3,454545…;
2) 0,666…; 4) 0,1777…; 6) 1,4(12).

1. $$0,222\ldots = 0,2 + 0,02 + 0,002 + \ldots$$

   Это бесконечная геометрическая прогрессия, где $$b_1=0,2$$, $$q=0,1$$.

   Тогда

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0,2}{1-0,1}=\frac{0,2}{0,9}=\frac{2}{9}.$$

2. $$0,666\ldots = 0,6 + 0,06 + 0,006 + \ldots$$

   Здесь $$b_1=0,6$$, $$q=0,1$$.

   Тогда

   $$S=\frac{0,6}{1-0,1}=\frac{0,6}{0,9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.$$

3. $$0,(28)=0,28+0,0028+0,000028+\ldots$$

   Это геометрическая прогрессия, где $$b_1=0,28$$, $$q=0,01$$.

   Тогда

   $$S=\frac{0,28}{1-0,01}=\frac{0,28}{0,99}=\frac{28}{99}.$$

4. $$0,1777\ldots = 0,1+0,07+0,007+0,0007+\ldots$$

   Сумма первых двух слагаемых:

   $$0,1+0,07=\frac{9}{90}+\frac{7}{90}=\frac{16}{90}=\frac{8}{45}.$$

   Оставшаяся часть — бесконечная геометрическая прогрессия:

   $$0,07+0,007+0,0007+\ldots$$

   где $$b_1=0,07$$, $$q=0,1$$.

   Тогда

   $$S=\frac{0,07}{1-0,1}=\frac{0,07}{0,9}=\frac{7}{90}.$$

   Итак,

   $$0,1777\ldots = \frac{8}{45}.$$

5. $$3,454545\ldots = 3+0,45+0,0045+0,000045+\ldots$$

   Сумма периодической части:

   $$0,45+0,0045+0,000045+\ldots$$

   Это геометрическая прогрессия, где $$b_1=0,45$$, $$q=0,01$$.

   Тогда

   $$S=\frac{0,45}{1-0,01}=\frac{0,45}{0,99}=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}.$$

   Следовательно,

   $$3,454545\ldots = 3+\frac{5}{11}=\frac{38}{11}.$$

6. $$1,4(12)=1,4+0,012+0,00012+0,0000012+\ldots$$

   Сумма периодической части:

   $$0,012+0,00012+0,0000012+\ldots$$

   Это геометрическая прогрессия, где $$b_1=0,012$$, $$q=0,01$$.

   Тогда

   $$S=\frac{0,012}{1-0,01}=\frac{0,012}{0,99}=\frac{12}{990}=\frac{2}{165}.$$

   Кроме того,

   $$1,4=\frac{7}{5}=\frac{231}{165}.$$

   Значит,

   $$1,4(12)=\frac{231}{165}+\frac{2}{165}=\frac{233}{165}.$$

Ответ

$$\frac{2}{9};\ \frac{2}{3};\ \frac{28}{99};\ \frac{8}{45};\ \frac{38}{11};\ \frac{233}{165}.$$