Упр.24.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 24.17. Последовательность задана рекуррентно: a_1=7, a_2=25, a_(n+2)=7a_(n+1)-12a_n. Докажите, что все члены этой последовательности при делении на 3 дают в остатке 1.

Подробный ответ

Проверим первые члены последовательности:

$$a_1=7=3\cdot 2+1,$$

$$a_2=25=3\cdot 8+1.$$

Значит, $$a_1$$ и $$a_2$$ при делении на $$3$$ дают остаток $$1$$.

Докажем по индукции, что это верно для всех членов последовательности.

Пусть для некоторых $$n$$ и $$n+1$$ выполняется:

$$a_n=3p+1,\qquad a_{n+1}=3q+1,$$

где $$p$$ и $$q$$ — целые числа. Тогда

$$ a_{n+2}=7a_{n+1}-12a_n=7(3q+1)-12(3p+1). $$

Преобразуем:

$$ a_{n+2}=21q+7-36p-12=21q-36p-5. $$

Представим это число в виде $$3k+1$$:

$$ 21q-36p-5=3(7q-12p-2)+1. $$

Следовательно, $$a_{n+2}$$ тоже при делении на $$3$$ даёт остаток $$1$$.

Так как первые два члена последовательности имеют вид $$3k+1$$, и из этого свойства следует такое же для следующего члена, то все члены последовательности при делении на $$3$$ дают остаток $$1$$.