Упр.2.42 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 2.42. Решите систему уравнений {(x^4-vy=y^4-vx, x^2+y^2=2).

Из первого уравнения получаем:

$$x^4-\sqrt{y}=y^4-\sqrt{x}$$

$$x^4+\sqrt{x}=y^4+\sqrt{y}.$$

Рассмотрим функцию

$$h(t)=t^4+\sqrt{t}, \quad t \ge 0.$$

Она возрастает на своей области определения, значит из равенства $$h(x)=h(y)$$ следует, что

$$x=y.$$

Подставим это во второе уравнение системы:

$$x^2+y^2=2$$

$$x^2+x^2=2$$

$$2x^2=2$$

$$x^2=1.$$

С учётом области определения $$x \ge 0$$ и $$y \ge 0$$ получаем:

$$x=1,\quad y=1.$$

Ответ

$$\left(1;\,1\right)$$