Упр.19.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

x^8=9a-a^3?

Рассмотрим уравнение $$x^8=9a-a^3.$$

Левая часть неотрицательна при любых $$x$$, значит число корней зависит от знака правой части.

Обозначим $$f(a)=9a-a^3=a(9-a^2)=a(3-a)(3+a).$$

Тогда:

• если $$9a-a^3>0,$$ то уравнение $$x^8=\text{положительное число}$$ имеет два корня: $$x=\pm \sqrt[8]{9a-a^3};$$
• если $$9a-a^3=0,$$ то получаем $$x^8=0,$$ откуда один корень $$x=0;$$
• если $$9a-a^3<0,$$ то уравнение корней не имеет.

Найдём, при каких $$a$$ выполняется $$9a-a^3>0$$:

$$ 9a-a^3>0 \\ a(9-a^2)>0 \\ a(3-a)(3+a)>0 $$

По знакам множителей получаем:

• $$a<-3$$ или $$0<a<3$$ — правая часть положительна;
• $$a=-3,\ a=0,\ a=3$$ — правая часть равна нулю;
• $$-3<a<0$$ или $$a>3$$ — правая часть отрицательна.

Ответ

Если $$a<-3$$ или $$0<a<3,$$ то уравнение имеет два корня; если $$a=-3,\ a=0$$ или $$a=3,$$ то один корень; если $$-3<a<0$$ или $$a>3,$$ то корней нет.