Упр.19.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 19.24. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x^6 на промежутке [a; 2].
Функция $$f(x)=x^6$$ имеет чётную степень, поэтому
$$f(x)\ge 0$$
и убывает на промежутке $$(-\infty;0]$$, а возрастает на промежутке $$[0;+\infty)$$.
Рассмотрим положение отрезка $$[a;2]$$ относительно точки $$x=0$$.
Если $$a<-2$$, то отрезок $$[a;2]$$ содержит точку $$0$$. Тогда
$$\min\limits_{[a;2]} f(x)=f(0)=0,$$
а наибольшее значение достигается в левом конце отрезка:
$$\max\limits_{[a;2]} f(x)=f(a)=a^6.$$
Если $$-2\le a\le 0$$, то точка $$0$$ также принадлежит отрезку $$[a;2]$$. Поэтому
$$\min\limits_{[a;2]} f(x)=f(0)=0,$$
$$\max\limits_{[a;2]} f(x)=f(2)=2^6=64.$$
Если $$0<a\le 2$$, то весь отрезок $$[a;2]$$ лежит справа от нуля, где функция возрастает. Значит,
$$\min\limits_{[a;2]} f(x)=f(a)=a^6,$$
$$\max\limits_{[a;2]} f(x)=f(2)=64.$$
Ответ
Если $$a<-2$$, то $$\min f(x)=0$$, $$\max f(x)=a^6$$;
если $$-2\le a\le 0$$, то $$\min f(x)=0$$, $$\max f(x)=64$$;
если $$0<a\le 2$$, то $$\min f(x)=a^6$$, $$\max f(x)=64$$.
