Упр.18.57 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 18.57. Докажите, что если a > 1 и b > 1, то a/v(b-1)+b/v(a-1)?4.

Рассмотрим вспомогательное неравенство при $$x>1$$:

$$\frac{(x-1)+1}{2}\ge \sqrt{(x-1)\cdot 1}.$$

Тогда

$$\frac{x}{2}\ge \sqrt{x-1}.$$

Применим его к числам $$a$$ и $$b$$:

$$\frac{a}{2}\ge \sqrt{a-1}, \qquad \frac{b}{2}\ge \sqrt{b-1}.$$

Перемножим эти неравенства:

$$\frac{ab}{4}\ge \sqrt{(a-1)(b-1)}.$$

Теперь оценим исходное выражение по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$\frac{a}{\sqrt{b-1}}+\frac{b}{\sqrt{a-1}}\ge 2\sqrt{\frac{a}{\sqrt{b-1}}\cdot \frac{b}{\sqrt{a-1}}}.$$

Так как $$a>1$$ и $$b>1$$, то

$$\sqrt{a-1}\le \frac{a}{2}, \qquad \sqrt{b-1}\le \frac{b}{2},$$

следовательно,

$$\frac{a}{\sqrt{b-1}}\cdot \frac{b}{\sqrt{a-1}}\ge \frac{a}{b/2}\cdot \frac{b}{a/2}=4.$$

Значит,

$$\frac{a}{\sqrt{b-1}}+\frac{b}{\sqrt{a-1}}\ge 2\sqrt{4}=4.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$\frac{a}{\sqrt{b-1}}+\frac{b}{\sqrt{a-1}}\ge 4.$$