Упр.18.42 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

(a_1)^2+(a_2)^2+…+(a_n)^2?n.

По неравенству Коши–Буняковского имеем:

$$ (1\cdot a_1+1\cdot a_2+\dots+1\cdot a_n)^2 \le (1+1+\dots+1)(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2). $$

Так как $$a_1+a_2+\dots+a_n=n,$$ то

$$ n^2 \le n(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2). $$

Делим обе части на $$n$$, получаем:

$$ a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2 \ge n. $$

Неравенство доказано.

Ответ

$$a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2 \ge n.$$