Упр.18.39 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

ab/(a+b)+bc/(b+c)+ca/(c+a)?1/2.

Используем неравенство

$$\frac{xy}{x+y}\le \frac{x+y}{4},$$

которое следует из

$$\frac{x+y}{2}\ge \frac{2}{\frac1x+\frac1y}=\frac{2xy}{x+y}.$$

Применим его к каждой дроби:

$$\frac{ab}{a+b}\le \frac{a+b}{4},\qquad \frac{bc}{b+c}\le \frac{b+c}{4},\qquad \frac{ca}{c+a}\le \frac{c+a}{4}.$$

Складываем полученные неравенства:

$$\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le \frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}.$$

Так как $$a+b+c=1,$$ то

$$\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}=\frac{2(a+b+c)}{4}=\frac12.$$

Следовательно,

$$\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le \frac12.$$

Ответ

$$\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le \frac12.$$