Упр.17.50 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.50. Докажите, что при любых положительных значениях a, b и c хотя бы одно из неравенств a(1-b)?1/4, b(1-c)?1/4, c(1-a)?1/4 верно.

Подробный ответ

Предположим, что все три неравенства неверны. Тогда

$$a(1-b)>\frac14,\quad b(1-c)>\frac14,\quad c(1-a)>\frac14.$$

Перемножим их почленно:

$$a(1-b)\cdot b(1-c)\cdot c(1-a)>\frac14\cdot\frac14\cdot\frac14=\frac1{64}.$$

С другой стороны, так как все числа положительны, то из неравенств выше следует, что

$$a(1-b)>0,\quad b(1-c)>0,\quad c(1-a)>0,$$

значит,

$$0<a,b,c<1.$$

Для любого $$x$$ при $$0<x<1$$ верно:

$$\left(x-\frac12\right)^2\ge 0,$$

откуда

$$x^2-x+\frac14\ge 0,$$

то есть

$$x(1-x)\le \frac14.$$

Применим это к числам $$a,b,c$$:

$$a(1-a)\le \frac14,\quad b(1-b)\le \frac14,\quad c(1-c)\le \frac14.$$

Но из предположения получаем

$$a(1-b)>\frac14,\quad b(1-c)>\frac14,\quad c(1-a)>\frac14,$$

и тогда произведение трёх левых частей больше $$\frac1{64}$$, что невозможно, так как каждое из выражений вида $$x(1-x)$$ не превосходит $$\frac14$$. Получаем противоречие.

Следовательно, хотя бы одно из неравенств

$$a(1-b)\le \frac14,\quad b(1-c)\le \frac14,\quad c(1-a)\le \frac14$$

верно.