Упр.17.39 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.39. Докажите, что если y?0, то x^4+4y^3+y+2x^2+1?8xy.

Рассмотрим два неравенства:

$$ (x^2-1)^2 \ge 0 $$
откуда
$$ x^4-2x^2+1 \ge 0, $$
значит
$$ x^4+2x^2+1 \ge 4x^2; $$

$$ y(2y-1)^2 \ge 0 $$
откуда
$$ 4y^3-4y^2+y \ge 0, $$
значит
$$ 4y^3+y \ge 4y^2. $$

Сложим полученные неравенства:

$$ (x^4+2x^2+1)+(4y^3+y)\ge 4x^2+4y^2, $$
то есть
$$ x^4+4y^3+y+2x^2+1\ge 4(x^2+y^2). $$

Теперь используем вспомогательное неравенство:

$$ 4(x-y)^2\ge 0, $$
откуда
$$ 4x^2-8xy+4y^2\ge 0, $$
значит
$$ 4(x^2+y^2)\ge 8xy. $$

Следовательно,
$$ x^4+4y^3+y+2x^2+1\ge 4(x^2+y^2)\ge 8xy. $$
Неравенство доказано.

Ответ

$$ x^4+4y^3+y+2x^2+1\ge 8xy. $$