Упр.17.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) если x?1 и y?1, то xy+1?x+y;
2) если x?1 и y?1, то xy+1?x+y.

1) Если $$x \le 1$$ и $$y \le 1$$, то

$$xy+1 \ge x+y.$$

Действительно, преобразуем неравенство:

$$xy+1-x-y \ge 0,$$

$$x(y-1)-(y-1) \ge 0,$$

$$x(y-1)-1(y-1) \ge 0,$$

$$ (x-1)(y-1) \ge 0.$$

Так как $$x-1 \le 0$$ и $$y-1 \le 0$$, то произведение двух неположительных чисел неотрицательно. Следовательно, неравенство верно.

2) Если $$x \ge 1$$ и $$y \ge 1$$, то

$$xy+1 \ge x+y.$$

Преобразуем левую и правую части:

$$xy+1-x-y \ge 0,$$

$$x(y-1)-(y-1) \ge 0,$$

$$ (x-1)(y-1) \ge 0.$$

Так как $$x-1 \ge 0$$ и $$y-1 \ge 0$$, то произведение двух неотрицательных чисел неотрицательно. Значит, неравенство доказано.

Ответ

В обоих случаях $$xy+1 \ge x+y$$, так как $$xy+1-x-y=(x-1)(y-1)\ge 0$$.