Упр.15.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
1) y < 2x-x^2; 4) xy < 2; 2) (x-1)^2+(y+2)^2 < 1; 5) xy?12; 3) x^2+2x+y^2?3; 6) (x-y)(x+y-1) < 0.
$$y<2x-x^2$$
Приведём правую часть к виду параболы:
$$y=-(x-1)^2+1$$
Это парабола с ветвями вниз, вершина $$\left(1;1\right)$$. Так как знак неравенства строгий, границу рисуем пунктиром и заштриховываем область ниже параболы.
$$\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2<1$$
Это круг с центром $$\left(1;-2\right)$$ и радиусом $$1$$. Неравенство строгое, значит, граница не входит в решение. Нужно заштриховать внутренность круга.
$$x^2+2x+y^2\ge 3$$
Допишем квадрат:
$$x^2+2x+1+y^2\ge 4$$
$$\left(x+1\right)^2+y^2\ge 4$$
Это окружность с центром $$\left(-1;0\right)$$ и радиусом $$2$$. Так как знак $$\ge$$, берём саму окружность и внешнюю область.
$$xy<2$$
Рассмотрим случаи:
если $$x>0$$, то $$y<\dfrac{2}{x}$$;
если $$x<0$$, то $$y>\dfrac{2}{x}$$;
при $$x=0$$ получаем $$0<2$$, значит, все значения $$y$$ подходят.
Граница — гипербола $$y=\dfrac{2}{x}$$, её нужно провести пунктиром. Решение состоит из точек, лежащих ниже правой ветви и выше левой ветви гиперболы.
$$xy\ge 12$$
Рассмотрим случаи:
если $$x>0$$, то $$y\ge \dfrac{12}{x}$$;
если $$x<0$$, то $$y\le \dfrac{12}{x}$$;
при $$x=0$$ получаем $$0\ge 12$$, что неверно.
Граница — гипербола $$y=\dfrac{12}{x}$$, её нужно провести сплошной линией. Подходит область выше правой ветви и ниже левой ветви гиперболы.
$$\left(x-y\right)\left(x+y-1\right)<0$$
Перепишем:
$$\left(y-x\right)\left(y-\left(1-x\right)\right)>0$$
Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:
$$y>x,\; y>1-x$$
или
$$y<x,\; y<1-x$$
Значит, нужно заштриховать области выше обеих прямых и ниже обеих прямых, не включая сами прямые.
Ответ
1) область ниже параболы $$y=2x-x^2$$; 2) внутренность круга $$\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2<1$$; 3) внешность и граница окружности $$\left(x+1\right)^2+y^2\ge 4$$; 4) области, где $$xy<2$$; 5) области, где $$xy\ge 12$$; 6) $$\left(y>x,\; y>1-x\right)$$ или $$\left(y<x,\; y<1-x\right)$$.
