Упр.13.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) {(y^2-x^2+4x-5=0, v(1-y^2)+x^2=4);
2) {(3-(y+1)^2=v(x-y), x+8y=v(x-y-9)).

1. $$\begin{cases} y^2-x^2+4x-5=0,\\ \sqrt{1-y^2}+x^2=4. \end{cases}$$

   Из первого уравнения:
   $$y^2=x^2-4x+5=(x-2)^2+1,$$
   значит,
   $$y^2\ge 1.$$

   Из второго уравнения:
   $$\sqrt{1-y^2}=4-x^2.$$
   Левая часть определена, если
   $$1-y^2\ge 0,$$
   то есть
   $$y^2\le 1.$$

   Следовательно,
   $$y^2=1,$$
   откуда
   $$y=\pm 1.$$

   Подставим в первое уравнение:
   $$1-x^2+4x-5=0,$$
   $$x^2-4x+4=0,$$
   $$x=2.$$

   Проверка во втором уравнении:
   $$\sqrt{1-1}+2^2=4,$$
   верно.

   Получаем решения:
   $$(2;1),\ (2;-1).$$

2. $$\begin{cases} 3-(y+1)^2=\sqrt{x-y},\\ x+8y=\sqrt{x-y-9}. \end{cases}$$

   Так как справа стоят квадратные корни, то
   $$x-y\ge 0,\qquad x-y-9\ge 0.$$
   Кроме того, из первого уравнения:
   $$3-(y+1)^2\ge 0.$$

   Из второго уравнения:
   $$x+8y=\sqrt{x-y-9}\ge 0.$$
   Чтобы оба уравнения выполнялись одновременно, удобно заметить, что
   $$x-y-9\ge 0 \Rightarrow x-y\ge 9.$$
   Тогда из первого уравнения должно быть
   $$3-(y+1)^2\ge 0,$$
   а правая часть первого уравнения неотрицательна.

   Проверим значение
   $$x-y=9.$$
   Тогда
   $$\sqrt{x-y}=3,\qquad \sqrt{x-y-9}=0.$$
   Из первого уравнения:
   $$3-(y+1)^2=3,$$
   значит,
   $$(y+1)^2=0,\qquad y=-1.$$
   Тогда
   $$x-y=9 \Rightarrow x-(-1)=9 \Rightarrow x=8.$$

   Проверка:
   $$3-(-1+1)^2=3=\sqrt{8-(-1)},$$
   $$8+8\cdot(-1)=0=\sqrt{8-(-1)-9}.$$

   Получаем решение:
   $$(8;-1).$$

Ответ

1) $$(2;1),\ (2;-1).$$
2) $$(8;-1).$$