Упр.13.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) {(x^2+xy+6=0, 24-y^2=(4x^2-y^2)^2);
2) {(x^2 y^2-2x+y^2=0, 2x^2-4x+3+y^3=0);
3) {(x^2-xy^2+4=0, x^2+y^2+4=4x+2y);
4) {(2+3y^2=2xy, |xy-2|=6-x^2).

1. $$\begin{cases} x^2+xy+6=0,\\ 24-y^2=(4x^2-y^2)^2. \end{cases}$$
   Из первого уравнения получаем
   $$x^2+xy=-6.$$
   Тогда
   $$x^2+xy+6=0 \Rightarrow x^2+xy=-6.$$
   Так как во втором уравнении левая часть неотрицательна, то
   $$24-y^2\ge 0,\quad y^2\le 24.$$
   С другой стороны, из первого уравнения для действительных решений должно быть
   $$y^2\ge 24,$$
   значит,
   $$y^2=24,\quad y=\pm 2\sqrt6.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$x^2\pm 2\sqrt6\,x+6=0,$$
   $$\left(x\pm \sqrt6\right)^2=0,$$
   откуда
   $$x=\mp \sqrt6.$$
   Получаем решения:
   $$(-\sqrt6;\,2\sqrt6),\quad (\sqrt6;\,-2\sqrt6).$$

2. $$\begin{cases} x^2y^2-2x+y^2=0,\\ 2x^2-4x+3+y^3=0. \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$x^2y^2-2x+y^2=0.$$
   Рассмотрим его как квадратное относительно $x$:
   $$y^2x^2-2x+y^2=0.$$
   Для существования действительных корней дискриминант неотрицателен:
   $$D=4-4y^4\ge 0,$$
   $$y^4\le 1,$$
   $$-1\le y\le 1.$$
   Из второго уравнения:
   $$2x^2-4x+3+y^3=0.$$
   Рассмотрим его как квадратное относительно $x$:
   $$D=16-8(3+y^3)\ge 0,$$
   $$-8-8y^3\ge 0,$$
   $$y^3\le -1,$$
   $$y\le -1.$$
   Совмещая с $$-1\le y\le 1,$$ получаем
   $$y=-1.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$x^2-2x+1=0,$$
   $$\left(x-1\right)^2=0,$$
   $$x=1.$$
   Значит,
   $$(1;\,-1).$$

3. $$\begin{cases} x^2-xy^2+4=0,\\ x^2+y^2+4=4x+2y. \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$x^2-xy^2+4=0.$$
   Рассмотрим его как квадратное относительно $x$:
   $$D=y^4-16\ge 0,$$
   $$\left(y^2-4\right)\left(y^2+4\right)\ge 0,$$
   $$y^2\ge 4,$$
   то есть
   $$y\le -2 \quad \text{или} \quad y\ge 2.$$
   Из второго уравнения:
   $$x^2-4x+y^2-2y+4=0.$$
   Рассмотрим его как квадратное относительно $x$:
   $$D=16-4\left(y^2-2y+4\right)=4\left(2y-y^2\right)\ge 0,$$
   $$y^2-2y\le 0,$$
   $$y(y-2)\le 0,$$
   $$0\le y\le 2.$$
   Совмещая условия, получаем
   $$y=2.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$x^2-4x+4=0,$$
   $$\left(x-2\right)^2=0,$$
   $$x=2.$$
   Следовательно,
   $$(2;\,2).$$

4. $$\begin{cases} 2+3y^2=2xy,\\ |xy-2|=6-x^2. \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$3y^2-2xy+2=0.$$
   Рассмотрим его как квадратное относительно $y$:
   $$D=(2x)^2-24=4x^2-24\ge 0,$$
   $$x^2\ge 6.$$
   Из второго уравнения:
   $$6-x^2\ge 0,$$
   $$x^2\le 6.$$
   Значит,
   $$x^2=6,\quad x=\pm \sqrt6.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$3y^2\mp 2\sqrt6\,y+2=0.$$
   Тогда
   $$\left(\sqrt3\,y\mp \sqrt2\right)^2=0,$$
   откуда
   $$y=\pm \frac{\sqrt6}{3}.$$
   Получаем пары:
   $$\left(-\sqrt6;\,-\frac{\sqrt6}{3}\right),\quad \left(\sqrt6;\,\frac{\sqrt6}{3}\right).$$

Ответ

1) $$(-\sqrt6;\,2\sqrt6),\ (\sqrt6;\,-2\sqrt6)$$
2) $$(1;\,-1)$$
3) $$(2;\,2)$$
4) $$\left(-\sqrt6;\,-\frac{\sqrt6}{3}\right),\ \left(\sqrt6;\,\frac{\sqrt6}{3}\right)$$