Упр.12.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(x^4+x^2 y^2+y^4=21, x^2-xy+y^2=7);
2) {(x^2=2y-1, x^4+y^4=2).

Подробный ответ

Решим первую систему:
$$ \begin{cases} x^4+x^2y^2+y^4=21,\\ x^2-xy+y^2=7. \end{cases} $$
Преобразуем первое уравнение:
$$ x^4+2x^2y^2+y^4-x^2y^2=21, $$
$$ (x^2+y^2)^2-(xy)^2=21, $$
$$ (x^2+y^2-xy)(x^2+y^2+xy)=21. $$
Так как $$x^2-xy+y^2=7$$, то
$$ 7(x^2+y^2+xy)=21, $$
$$ x^2+xy+y^2=3. $$
Вычтем второе уравнение из полученного:
$$ (x^2+xy+y^2)-(x^2-xy+y^2)=3-7, $$
$$ 2xy=-4, $$
$$ xy=-2. $$
Тогда из $$x^2-xy+y^2=7$$ получаем:
$$ x^2+2+y^2=7, $$
$$ x^2+y^2=5. $$
Имеем систему:
$$ \begin{cases} x^2+y^2=5,\\ xy=-2. \end{cases} $$
Тогда числа $$x^2$$ и $$y^2$$ — корни уравнения
$$ t^2-5t+4=0, $$
откуда
$$ t_1=1,\quad t_2=4. $$
Значит, $$\{x^2,y^2\}=\{1,4\}$$, а с учётом $$xy=-2$$ получаем:
$$ (x,y)=(-1,2),\ (1,-2),\ (-2,1),\ (2,-1). $$
Решим вторую систему:
$$ \begin{cases} x^2=2y-1,\\ x^4+y^4=2. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ x^2=2y-1,\qquad 2y-1\ge 0,\qquad y\ge \frac12. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ (2y-1)^2+y^4=2, $$
$$ 4y^2-4y+1+y^4=2, $$
$$ y^4+4y^2-4y-1=0. $$
Разложим на множители:
$$ (y-1)(y+1)(y^2+1)+4y(y-1)=0, $$
$$ (y-1)\bigl((y+1)(y^2+1)+4y\bigr)=0. $$
Отсюда с учётом $$y\ge \frac12$$ получаем $$y=1$$.
Тогда
$$ x^2=2\cdot 1-1=1, $$
$$ x=\pm 1. $$
Следовательно, решения второй системы:
$$ (-1,1),\ (1,1). $$