Упр.12.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) {(2x^2-5xy+3x-2y=2, 5xy-2x^2+7x-8y=-22);
2) {((x^2+y)^2 (x^2-xy+y)=4, (x^2+y)^2 (x^2+xy+y)=12);
3) {(y^2+x+1=-y, x^2+y+1=-x);
4) {(x^3-3x^2 y+3xy^2=-1, y^3+y-x=1).

1. $$\begin{cases} 2x^2-5xy+3x-2y=2,\\ 5xy-2x^2+7x-8y=-22. \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$10x-10y=-20,$$
   $$x-y=-2,$$
   $$y=x+2.$$
   Подставим во первое уравнение:
   $$2x^2-5x(x+2)+3x-2(x+2)=2,$$
   $$2x^2-5x^2-10x+3x-2x-4=2,$$
   $$3x^2+9x+6=0,$$
   $$x^2+3x+2=0,$$
   $$(x+1)(x+2)=0.$$
   Тогда $$x=-1$$ или $$x=-2.$$
   Найдём $$y$$:
   $$x=-1 \Rightarrow y=1,$$
   $$x=-2 \Rightarrow y=0.$$

   Ответ: $$(-2;0),\;(-1;1).$$

2. $$\begin{cases} (x^2+y)^2(x^2-xy+y)=4,\\ (x^2+y)^2(x^2+xy+y)=12. \end{cases}$$
   Обозначим $$a=(x^2+y)^2.$$ Тогда
   $$\begin{cases} a(x^2-xy+y)=4,\\ a(x^2+xy+y)=12. \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$a(2x^2+2y)=16,$$
   $$a(x^2+y)=8.$$
   Так как $$a=(x^2+y)^2,$$ получаем
   $$(x^2+y)^3=8,$$
   $$x^2+y=2,$$
   $$y=2-x^2.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$4\bigl(x^2-x(2-x^2)+(2-x^2)\bigr)=4,$$
   $$x^3-2x+2=1,$$
   $$x^3-2x+1=0,$$
   $$(x-1)(x^2+x-1)=0.$$
   Отсюда
   $$x=1,\quad x=\frac{-1-\sqrt5}{2},\quad x=\frac{-1+\sqrt5}{2}.$$
   Тогда
   $$x=1 \Rightarrow y=1,$$
   $$x=\frac{-1-\sqrt5}{2} \Rightarrow y=\frac{1-\sqrt5}{2},$$
   $$x=\frac{-1+\sqrt5}{2} \Rightarrow y=\frac{1+\sqrt5}{2}.$$

   Ответ: $$\left(1;1\right),\ \left(\frac{-1-\sqrt5}{2};\frac{1-\sqrt5}{2}\right),\ \left(\frac{-1+\sqrt5}{2};\frac{1+\sqrt5}{2}\right).$$

3. $$\begin{cases} y^2+x+1=-y,\\ x^2+y+1=-x. \end{cases}$$
   Перенесём всё в левую часть:
   $$\begin{cases} y^2+x+y+1=0,\\ x^2+x+y+1=0. \end{cases}$$
   Вычтем второе уравнение из первого:
   $$y^2-x^2+y-x=0,$$
   $$(y-x)(x+y+1)=0.$$
   Рассмотрим случай $$x=y.$$ Тогда
   $$x^2+2x+1=0,$$
   $$(x+1)^2=0,$$
   $$x=-1,\ y=-1.$$

   Ответ: $$(-1;-1).$$

4. $$\begin{cases} x^3-3x^2y+3xy^2=-1,\\ y^3+y-x=1. \end{cases}$$
   Первое уравнение запишем как
   $$(x-y)^3+y^3=-1.$$
   Удобнее сложить его со вторым:
   $$x^3-3x^2y+3xy^2-y^3-y+x=-2,$$
   $$(x-y)^3+(x-y)=-2.$$
   Обозначим $$t=x-y.$$ Тогда
   $$t^3+t=-2,$$
   $$t^3+t+2=0,$$
   $$(t+1)(t^2-t+2)=0.$$
   Так как $$t^2-t+2>0,$$ получаем
   $$t=-1,$$
   то есть
   $$x-y=-1,\quad x=y-1.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$y^3+y-(y-1)=1,$$
   $$y^3=0,$$
   $$y=0,$$
   $$x=-1.$$

   Ответ: $$(-1;0).$$