Упр.11.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 11.11. Найдите все значения параметров a и b, при которых совпадают множества решений систем уравнений {(ax+2y=b+1, x+y=3) и {(2x+y=a^2+2, x+3y=3).

Подробный ответ

Рассмотрим вторую систему:

$$ \begin{cases} 2x+y=a^2+2,\\ x+3y=3. \end{cases} $$
Её определитель равен $$\Delta=2\cdot 3-1\cdot 1=5\neq 0,$$ значит, система имеет единственное решение.

Рассмотрим первую систему:

$$ \begin{cases} ax+2y=b+1,\\ x+y=3. \end{cases} $$
Чтобы множества решений двух систем совпадали, первая система тоже должна иметь единственное решение, а её решение должно совпадать с решением второй системы.

Найдём решение второй системы. Из второго уравнения:

$$ x=3-3y. $$
Подставим в первое:

$$ 2(3-3y)+y=a^2+2 $$
$$ 6-6y+y=a^2+2 $$
$$ 6-5y=a^2+2. $$

Но удобнее сначала найти точку пересечения из системы в общем виде. Из второго уравнения первой системы и второго уравнения второй системы получаем, что общая точка должна удовлетворять обоим уравнениям. Подставим в систему:

$$ \begin{cases} x+y=3,\\ x+3y=3. \end{cases} $$
Вычтем первое уравнение из второго:

$$ 2y=0,\quad y=0. $$
Тогда

$$ x=3. $$

Значит, общая точка — $$ (3,0) $$. Подставим её во вторую систему:

$$ 2\cdot 3+0=a^2+2 $$
$$ 6=a^2+2 $$
$$ a^2=4 $$
$$ a=\pm 2. $$

Теперь подставим точку $$ (3,0) $$ в первую систему:

$$ a\cdot 3+2\cdot 0=b+1 $$
$$ 3a=b+1 $$
$$ b=3a-1. $$

При $$a=2$$ получаем $$b=5$$, а при $$a=-2$$ получаем $$b=-7$$.

Проверим условие совпадения множеств решений. Для первой системы определитель:

$$ \Delta_1=a\cdot 1-2\cdot 1=a-2. $$
Чтобы система имела единственное решение, нужно $$a\neq 2$$. Поэтому значение $$a=2$$ не подходит.

Остаётся:

$$ a=-2,\quad b=-7. $$