Вариант 3 Самостоятельная работа 35 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Суммирование
1. Найдите сумму 6/5+51/25+376/125+…+(5^n·n+1)/5^n.
2. Найдите сумму (5+1/5)^2+(5^2+1/5^2)^2+(5^3+1/5^3)^2+…+(5^n+1/5^n)^2.
3. Найдите сумму 1/(5·11)+1/(11·17)+1/(17·23)+…+1/((6n-1)·(6n+5)).

1. Преобразуем общий член:

   $$\frac{5^k\cdot k+1}{5^k}=k+\frac{1}{5^k}.$$

   Тогда

   $$ \frac65+\frac{51}{25}+\frac{376}{125}+\cdots+\frac{5^n\cdot n+1}{5^n} =(1+\frac15)+(2+\frac1{25})+(3+\frac1{125})+\cdots+\left(n+\frac1{5^n}\right). $$

   Сумма равна

   $$ (1+2+\cdots+n)+\left(\frac15+\frac1{25}+\frac1{125}+\cdots+\frac1{5^n}\right). $$

   Первая сумма:

   $$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$

   Вторая сумма — геометрическая прогрессия:

   $$ \frac15+\frac1{25}+\cdots+\frac1{5^n} =\frac15\cdot\frac{1-\left(\frac15\right)^n}{1-\frac15} =\frac14\left(1-\frac1{5^n}\right). $$

   Итак,

   $$ S=\frac{n(n+1)}{2}+\frac14-\frac{1}{4\cdot 5^n}. $$

2. Раскроем квадрат:

   $$ \left(5^k+\frac1{5^k}\right)^2=5^{2k}+2+\frac1{5^{2k}}. $$

   Тогда

   $$ \left(5+\frac15\right)^2+\left(5^2+\frac1{5^2}\right)^2+\cdots+\left(5^n+\frac1{5^n}\right)^2 $$

   $$ =(2+2+\cdots+2)+\left(5^2+5^4+\cdots+5^{2n}\right)+\left(\frac1{5^2}+\frac1{5^4}+\cdots+\frac1{5^{2n}}\right). $$

   Первая сумма:

   $$2+2+\cdots+2=2n.$$

   Вторая сумма:

   $$ 5^2+5^4+\cdots+5^{2n} =25+25^2+\cdots+25^n =25\cdot\frac{25^n-1}{25-1} =\frac{25}{24}(25^n-1). $$

   Третья сумма:

   $$ \frac1{5^2}+\frac1{5^4}+\cdots+\frac1{5^{2n}} =\frac1{25}\cdot\frac{1-\left(\frac1{25}\right)^n}{1-\frac1{25}} =\frac1{24}\left(1-\frac1{25^n}\right). $$

   Следовательно,

   $$ S=2n+\frac{25}{24}(25^n-1)+\frac1{24}\left(1-\frac1{25^n}\right) =2n+\frac{25^{n+1}}{24}-\frac1{24\cdot 25^n}-1. $$

3. Разложим дробь на разность:

   $$ \frac1{(6k-1)(6k+5)}=\frac16\left(\frac1{6k-1}-\frac1{6k+5}\right). $$

   Тогда сумма телескопическая:

   $$ \frac1{5\cdot 11}+\frac1{11\cdot 17}+\frac1{17\cdot 23}+\cdots+\frac1{(6n-1)(6n+5)} $$

   $$ =\frac16\left(\frac15-\frac1{11}+\frac1{11}-\frac1{17}+\cdots+\frac1{6n-1}-\frac1{6n+5}\right) =\frac16\left(\frac15-\frac1{6n+5}\right). $$

   Вычислим:

   $$ \frac16\left(\frac15-\frac1{6n+5}\right) =\frac16\cdot\frac{6n}{5(6n+5)} =\frac{n}{5(6n+5)}. $$

Ответ

1) $$\frac{n(n+1)}{2}+\frac14-\frac{1}{4\cdot 5^n}$$

2) $$2n+\frac{25^{n+1}}{24}-\frac1{24\cdot 25^n}-1$$

3) $$\frac{n}{5(6n+5)}$$