Вариант 4 Самостоятельная работа 16 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Системы неравенств с двумя переменными
1. Изобразите на координатной плоскости xy множество решений системы неравенств {x^2+y^2 > 13, xy?6}.
2. Изобразите график неравенства:
1) |x+3y| > 3; 2) v(x-2y+3) < v(x+3y). 3. Изобразите на координатной плоскости xy множество точек, координаты которых удовлетворяют условию min{-3y, 2}=x-4.

Подробный ответ

Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x^2+y^2>13,\\ xy\le 6. \end{cases} $$
Первое неравенство задаёт внешность окружности с центром в начале координат и радиусом $$\sqrt{13}$$, причём сама окружность не входит.
Второе неравенство равносильно
$$ \begin{cases} x>0,\ y\le \dfrac{6}{x},\\ x<0,\ y\ge \dfrac{6}{x}. \end{cases} $$
Искомое множество — пересечение этих областей.
1) $$|x+3y|>3$$
По определению модуля:
$$ \begin{cases} x+3y>3,\\ \text{или}\\ x+3y<-3. \end{cases} $$
То есть
$$ \begin{cases} y>-\dfrac13x+1,\\ \text{или}\\ y<-\dfrac13x-1. \end{cases} $$
График — две полуплоскости вне полосы между прямыми $$y=-\dfrac13x+1$$ и $$y=-\dfrac13x-1$$, сами прямые не входят.
2) $$\sqrt{x-2y+3}<\sqrt{x+3y}$$
Сначала учитываем область определения:
$$ \begin{cases} x-2y+3\ge 0,\\ x+3y\ge 0. \end{cases} $$
Так как функция $$\sqrt{t}$$ возрастает, то неравенство равносильно
$$ x-2y+3<x+3y. $$
Отсюда
$$ 5y>3,\qquad y>\dfrac35. $$
С учётом ОДЗ получаем область
$$ \begin{cases} y>\dfrac35,\\ x-2y+3\ge 0. \end{cases} $$
То есть часть плоскости выше прямой $$y=\dfrac35$$ и не ниже границы $$x=2y-3$$.
Решим уравнение
$$\min\{-3y,\,2\}=x-4.$$
Рассмотрим два случая.
1) $$-3y\le 2$$, тогда $$\min\{-3y,2\}=-3y$$ и
$$ -3y=x-4,\qquad y=\dfrac43-\dfrac13x. $$
При этом должно выполняться $$-3y\le 2$$, то есть $$y\ge -\dfrac23$$.
2) $$-3y>2$$, тогда $$\min\{-3y,2\}=2$$ и
$$ 2=x-4,\qquad x=6. $$
При этом $$y<-\dfrac23$$.
Следовательно, множество решений — объединение луча прямой $$y=\dfrac43-\dfrac13x$$ при $$y\ge -\dfrac23$$ и вертикального луча $$x=6$$ при $$y<-\dfrac23$$.