Вариант 4 Самостоятельная работа 15 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Неравенства с двумя переменными
Постройте график неравенства:
1) y?-x^2+x+6; 2) xy > 8;
3) (3x-y-2)(x+y-4) < 0; 4) (y-1/2 x^2)/|y-2| < 0.

1. $$y \le -x^2+x+6.$$

   Приведём правую часть к виду квадратичной функции. Это парабола, ветви направлены вниз, так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный.

   Найдём вершину:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2\cdot(-1)}=\frac12,$$

   $$y_0=-\left(\frac12\right)^2+\frac12+6=6{,}25.$$

   Строим параболу $$y=-x^2+x+6$$ и заштриховываем область ниже неё, включая саму границу.

2. $$xy>8.$$

   Если $$x>0$$, то

   $$y>\frac{8}{x}.$$

   Если $$x<0$$, то при делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

   $$y<\frac{8}{x}.$$

   Граница — гипербола $$xy=8$$, она не входит в решение. Искомая область состоит из двух частей: выше ветви в I четверти и ниже ветви в III четверти.

3. $$\left(3x-y-2\right)\left(x+y-4\right)<0.$$

   Произведение отрицательно, когда множители разных знаков:

   $$ \begin{cases} 3x-y-2>0,\\ x+y-4<0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 3x-y-2<0,\\ x+y-4>0 \end{cases} $$

   То есть

   $$ \begin{cases} y<3x-2,\\ y<4-x \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} y>3x-2,\\ y>4-x \end{cases} $$

   Граница состоит из прямых $$y=3x-2$$ и $$y=4-x$$, они не входят в решение. Заштриховываются области, где точки лежат между этими прямыми по разные стороны их пересечения.

4. $$\frac{y-\frac12x^2}{|y-2|}<0.$$

   Так как $$|y-2|>0$$ при $$y\ne 2$$, знак дроби определяется числителем. Чтобы дробь была отрицательной, нужно

   $$y-\frac12x^2<0,$$

   то есть

   $$y<\frac12x^2.$$

   При этом обязательно

   $$y\ne 2.$$

   Значит, решение — область ниже параболы $$y=\frac12x^2$$, без точки и без прямой $$y=2$$.

Ответ

1) область на и под параболой $$y=-x^2+x+6$$;
2) $$\{(x,y)\mid xy>8\}$$;
3) $$\{(x,y)\mid (y<3x-2 \text{ и } y<4-x)\ \text{или}\ (y>3x-2 \text{ и } y>4-x)\}$$;
4) $$\{(x,y)\mid y<\frac12x^2,\ y\ne 2\}$$.