Вариант 3 Самостоятельная работа 11 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Уравнение с двумя переменными и его график
1. Постройте график уравнения:
1) x^2+y^2-2x+4y+5=0; 3) |y-3|=vx;
2) 16x^2-y^2=0; 4) (x^2+y^2-4)/(x^2-1)=0.
2. Решите уравнение (x^2-6x+12)(y^2-10y+28)=9.
$$x^2+y^2-2x+4y+5=0$$
$$x^2-2x+1+y^2+4y+4=0$$
$$\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=0$$
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$x-1=0,\quad y+2=0$$
$$x=1,\quad y=-2$$
График — одна точка $$\left(1;\,-2\right)$$.
$$16x^2-y^2=0$$
$$y^2=16x^2$$
$$|y|=4|x|$$
Отсюда получаем две прямые:
$$y=4x \quad \text{и} \quad y=-4x$$
$$|y-3|=\sqrt{x}$$
Так как правая часть неотрицательна, то $$x\ge 0$$.
Рассмотрим два случая:
$$y-3=\sqrt{x} \quad \Rightarrow \quad y=\sqrt{x}+3$$
$$3-y=\sqrt{x} \quad \Rightarrow \quad y=3-\sqrt{x}$$
График состоит из двух ветвей: $$y=\sqrt{x}+3$$ и $$y=3-\sqrt{x}$$ при $$x\ge 0$$.
$$\frac{x^2+y^2-4}{x^2-1}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$x^2+y^2-4=0,\quad x^2-1\ne 0$$
$$x^2+y^2=4,\quad x\ne \pm 1$$
Это окружность с центром в начале координат и радиусом $$2$$, но без точек с абсциссами $$x=\pm 1$$.
$$\left(x^2-6x+12\right)\left(y^2-10y+28\right)=9$$
Преобразуем выражения в скобках:
$$x^2-6x+12=\left(x-3\right)^2+3\ge 3$$
$$y^2-10y+28=\left(y-5\right)^2+3\ge 3$$
Произведение равно $$9$$, а каждое из множителей не меньше $$3$$. Значит, оба множителя должны быть равны $$3$$:
$$\left(x-3\right)^2+3=3,\quad \left(y-5\right)^2+3=3$$
$$x=3,\quad y=5$$
Ответ
1) $$\left(1;\,-2\right)$$; 2) $$y=4x$$ и $$y=-4x$$; 3) $$y=\sqrt{x}+3$$ и $$y=3-\sqrt{x}$$, $$x\ge 0$$; 4) $$x^2+y^2=4,\ x\ne \pm 1$$; 5) $$\left(3;\,5\right)$$.
