Вариант 4 Самостоятельная работа 1 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Функция
1. Найдите область определения функции
f(x)=v(3x-1)+1/(x^2-x-12).
2. Найдите область значений функции:
1) y=1-(x^9)/x; 2) y=(x-6)/x^2.
3. Даны функции f(x)=2x+3 и g(x)=x^2-4. Задайте формулой функцию: 1) g(3x); 2) f(g(x)).
4. Постройте график функции y=(15-3x)/(x^2-5x).
5. Известно, что D(f)=[-5; 2]. Найдите область определения функции y=f(x-3).

Подробный ответ

Для функции $$f(x)=\sqrt{3x-1}+\frac{1}{x^2-x-12}$$ нужно учесть два ограничения:
$$3x-1\ge 0,$$
$$x^2-x-12\ne 0.$$
Разложим знаменатель на множители:
$$x^2-x-12=(x-4)(x+3).$$
Тогда
$$x\ne 4,\quad x\ne -3,\quad x\ge \frac13.$$
Следовательно,
$$D(f)=\left[\frac13;4\right)\cup(4;+\infty).$$
Найдём область значений.
1) $$y=1-\frac{x^9}{x}=1-x^8,\quad x\ne 0.$$
Так как $$x^8>0$$ при $$x\ne 0,$$ то $$1-x^8<1.$$ Значит,
$$E(y)=(-\infty;1).$$
2) $$y=\frac{x-6}{x^2}.$$
Преобразуем:
$$yx^2=x-6,$$
$$yx^2-x+6=0.$$
Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$. Для существования действительных решений дискриминант должен быть неотрицательным:
$$D=1-24y\ge 0,$$
$$y\le \frac1{24}.$$
Значит,
$$E(y)=\left(-\infty;\frac1{24}\right].$$
Даны $$f(x)=2x+3$$ и $$g(x)=x^2-4.$$
1) $$g(3x)=(3x)^2-4=9x^2-4.$$
2) $$f(g(x))=2(x^2-4)+3=2x^2-8+3=2x^2-5.$$
Преобразуем функцию:
$$y=\frac{15-3x}{x^2-5x}=\frac{3(5-x)}{x(x-5)}=-\frac{3}{x}.$$
Но при этом исходное выражение определено только при
$$x^2-5x\ne 0,$$
то есть
$$x\ne 0,\quad x\ne 5.$$
График — это график функции $$y=-\frac{3}{x}$$ с выколотой точкой при $$x=5$$, то есть точка $$\left(5;-\frac35\right)$$ не принадлежит графику.
Асимптоты: $$x=0$$ и $$y=0.$$
Если $$D(f)=[-5;2],$$ то для функции $$y=f(x-3)$$ нужно, чтобы
$$-5\le x-3\le 2.$$
Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$$-2\le x\le 5.$$
Следовательно,
$$D=\left[-2;5\right].$$