Вариант 1 Контрольная работа 7 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Числовые последовательности
1. Найдите первый отрицательный член арифметической прогрессии 6,3; 5,9; 5,5; … .
2. Первый и четвёртый члены геометрической прогрессии соответственно равны 2,5 и 20. Найдите сумму восьми первых членов этой прогрессии.
3. При каком значении х значения выражений 2x+6, x+7 и x+4 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.
4. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 27, а сумма трёх её первых членов равна 35. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 6, которые больше 100 и меньше 200.
6. Последовательность задана рекуррентно: a_1=4, a_2=10, a_(n+2)=4a_(n+1)-3a_n. Докажите, что a_n=3^n+1.
7. Найдите сумму 1/(v1+v6)+1/(v6+v11)+1/(v11+v16)+…+1/(v116+v121).
Арифметическая прогрессия: $$a_1=6{,}3,\quad a_2=5{,}9,\quad d=a_2-a_1=-0{,}4.$$
Общий член:
$$a_n=a_1+d(n-1)=6{,}3-0{,}4(n-1).$$
Найдём первый отрицательный член:
$$6{,}3-0{,}4(n-1)<0$$
$$6{,}7-0{,}4n<0$$
$$0{,}4n>6{,}7$$
$$n>16{,}75.$$
Значит, первый отрицательный член — при $$n=17.$$
Для геометрической прогрессии $$b_1=2{,}5,\quad b_4=20.$$
Имеем:
$$b_4=b_1q^3,$$
$$2{,}5q^3=20,$$
$$q^3=8,\quad q=2.$$
Сумма первых восьми членов:
$$S_8=\frac{b_1(q^8-1)}{q-1}=\frac{2{,}5(2^8-1)}{2-1}=2{,}5\cdot 255=637{,}5.$$
Пусть последовательные члены геометрической прогрессии равны:
$$b_1=2x+6,\quad b_2=x+7,\quad b_3=x+4.$$
Тогда:
$$b_2^2=b_1b_3,$$
$$ (x+7)^2=(2x+6)(x+4).$$
Раскроем скобки:
$$x^2+14x+49=2x^2+14x+24,$$
$$x^2=25,$$
$$x=\pm 5.$$
Проверим оба значения:
при $$x=-5$$ получаем $$-4,\ 2,\ -1;$$
при $$x=5$$ получаем $$16,\ 12,\ 9.$$
Для бесконечной геометрической прогрессии:
$$S=\frac{b_1}{1-q}=27,$$
$$S_3=\frac{b_1(1-q^3)}{1-q}=35.$$
Из первого уравнения:
$$b_1=27(1-q).$$
Подставим во второе:
$$27(1-q^3)=35,$$
$$1-q^3=\frac{35}{27},$$
$$q^3=-\frac{8}{27},\quad q=-\frac{2}{3}.$$
Тогда
$$b_1=27\left(1+\frac{2}{3}\right)=45.$$
Найдём сумму чисел, кратных 6, больших 100 и меньших 200:
$$102,\ 108,\ 114,\ \ldots,\ 198.$$
Это арифметическая прогрессия с разностью $$d=6.$$
Число членов:
$$n=\frac{198-102}{6}+1=17.$$
Сумма:
$$S_{17}=\frac{102+198}{2}\cdot 17=150\cdot 17=2550.$$
Докажем по индукции, что $$a_n=3^n+1.$$
Проверим начальные члены:
$$a_1=4=3^1+1,\quad a_2=10=3^2+1.$$
Предположим, что для некоторых $$n$$ верно:
$$a_n=3^n+1,\quad a_{n+1}=3^{n+1}+1.$$
Тогда
$$a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_n=4(3^{n+1}+1)-3(3^n+1).$$
Преобразуем:
$$a_{n+2}=4\cdot 3^{n+1}+4-3\cdot 3^n-3=9\cdot 3^n+1=3^{n+2}+1.$$
Следовательно, $$a_n=3^n+1$$ для всех натуральных $$n.$$
Сумма имеет вид:
$$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{11}}+\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{16}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{116}+\sqrt{121}}.$$
Рационализуем каждый знаменатель:
$$\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+5}}=\frac{\sqrt{k+5}-\sqrt{k}}{5}.$$
Тогда сумма телескопическая:
$$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{1}}{5}+\frac{\sqrt{11}-\sqrt{6}}{5}+\cdots+\frac{\sqrt{121}-\sqrt{116}}{5}=\frac{\sqrt{121}-\sqrt{1}}{5}.$$
$$\frac{11-1}{5}=2.$$
Ответ
1) $$17$$; 2) $$637{,}5$$; 3) $$x=-5$$ или $$x=5$$, члены прогрессии: $$-4,\ 2,\ -1$$ и $$16,\ 12,\ 9$$; 4) $$b_1=45,\ q=-\frac{2}{3}$$; 5) $$2550$$; 6) доказано; 7) $$2$$.
