Вариант 2 Контрольная работа 2 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Решение квадратных неравенств. Решение неравенств методом интервалов. Расположение нулей квадратичной функции относительно данной точки
1. Решите неравенство:
1) 8x^2-9x+1?0;
2) 25x^2+10x+1 > 0;
3) -5x^2+4x-9 < 0.
2. Найдите область определения функции f(x)=v(15+2x-x^2)/(x^2-3x-4).
3. Решите систему неравенств {x^2+x-2 > 0, |x-2|?5}.
4. Решите неравенство:
1) (x+9)(x-2)(x+1) < 0;
2) (x+3)(1-x)(x+6)^2?0;
3) x/(x+2)-4/(x-5)+(9x-1)/(x^2-3x-10)?0.
5. Решите неравенство:
1) |x^2-12x+25| < 3x-11;
2) |x^2+5x+1| > 2x+5.
6. При каких значениях параметра a все корни уравнения x^2-2ax+a^2-a-10=0 больше 2?
$$8x^2-9x+1\le 0$$
$$D=9^2-4\cdot 8\cdot 1=81-32=49$$
$$x_{1,2}=\frac{9\pm 7}{16}$$
$$x_1=\frac18,\quad x_2=1$$
Так как старший коэффициент положительный, то
$$\frac18\le x\le 1$$
Ответ: $$\left[\frac18;1\right]$$
$$25x^2+10x+1>0$$
$$25x^2+10x+1=(5x+1)^2$$
Квадрат числа положителен при всех $x$, кроме случая, когда он равен нулю:
$$5x+1\ne 0,\quad x\ne -\frac15$$
Ответ: $$(-\infty;-\tfrac15)\cup(-\tfrac15;+\infty)$$
$$-5x^2+4x-9<0$$
Умножим на $-1$ и изменим знак неравенства:
$$5x^2-4x+9>0$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 5\cdot 9=16-180=-164<0$$
Так как $a>0$ и дискриминант отрицателен, выражение всегда положительно.
Ответ: $$(-\infty;+\infty)$$
$$f(x)=\frac{\sqrt{15+2x-x^2}}{x^2-3x-4}$$
Для области определения нужно:
$$15+2x-x^2\ge 0,\quad x^2-3x-4\ne 0$$
$$15+2x-x^2\ge 0 \iff x^2-2x-15\le 0 \iff (x-5)(x+3)\le 0$$
$$-3\le x\le 5$$
$$x^2-3x-4=(x-4)(x+1)\ne 0,\quad x\ne 4,\ x\ne -1$$
Итак,
Ответ: $$[-3;-1)\cup(-1;4)\cup(4;5]$$
$$ \begin{cases} x^2+x-2>0,\\ |x-2|\le 5 \end{cases} $$
$$x^2+x-2=(x+2)(x-1)$$
$$ (x+2)(x-1)>0 \iff x<-2 \text{ или } x>1 $$
$$|x-2|\le 5 \iff -5\le x-2\le 5 \iff -3\le x\le 7$$
Пересечение решений:
Ответ: $$[-3;-2)\cup(1;7]$$
$$ (x+9)(x-2)(x+1)<0 $$
Нули: $$x=-9,\,-1,\,2$$
По методу интервалов получаем:
Ответ: $$(-\infty;-9)\cup(-1;2)$$
$$ (x+3)(1-x)(x+6)^2\ge 0 $$
Так как $$ (x+6)^2\ge 0 $$, то знак выражения определяется произведением $$ (x+3)(1-x) $$, а также точкой $$x=-6$$, где выражение равно нулю.
$$ (x+3)(1-x)\ge 0 \iff -3\le x\le 1 $$
Добавляем точку $$x=-6$$:
Ответ: $$\{-6\}\cup[-3;1]$$
$$\frac{x}{x+2}-\frac{4}{x-5}+\frac{9x-1}{x^2-3x-10}\le 0$$
ОДЗ: $$x\ne -2,\ x\ne 5$$
Приведём к общему знаменателю:
$$x^2-3x-10=(x+2)(x-5)$$
$$ \frac{x(x-5)-4(x+2)+(9x-1)}{(x+2)(x-5)}\le 0 $$
$$ \frac{x^2-5x-4x-8+9x-1}{(x+2)(x-5)}\le 0 $$
$$ \frac{x^2-9}{(x+2)(x-5)}\le 0 $$
$$ \frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x-5)}\le 0 $$
По методу интервалов:
Ответ: $$[-3;-2)\cup[3;5)$$
$$|x^2-12x+25|<3x-11$$
Правая часть должна быть положительной:
$$3x-11>0$$
Рассмотрим систему:
$$ \begin{cases} x^2-12x+25<3x-11,\\ x^2-12x+25>-(3x-11) \end{cases} $$
1) $$x^2-15x+36<0 \iff (x-3)(x-12)<0 \iff 3<x<12$$
2) $$x^2-9x+14>0 \iff (x-2)(x-7)>0 \iff x<2 \text{ или } x>7$$
С учётом $$3x-11>0$$ получаем:
Ответ: $$ (7;12) $$
$$|x^2+5x+1|>2x+5$$
Рассмотрим два случая:
1) $$x^2+5x+1<-(2x+5)$$
$$x^2+7x+6<0 \iff (x+1)(x+6)<0 \iff -6<x<-1$$
2) $$x^2+5x+1>2x+5$$
$$x^2+3x-4>0 \iff (x+4)(x-1)>0 \iff x<-4 \text{ или } x>1$$
Объединяем решения:
Ответ: $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$
$$x^2-2ax+a^2-a-10=0$$
Найдём корни:
$$D=(2a)^2-4(a^2-a-10)=4a+40=4(a+10)$$
$$x_{1,2}=\frac{2a\pm 2\sqrt{a+10}}{2}=a\pm \sqrt{a+10}$$
Требуется, чтобы оба корня были больше $2$:
$$a-\sqrt{a+10}>2$$
$$\sqrt{a+10}<a-2$$
Отсюда обязательно $$a>2$$. Возводим в квадрат:
$$a+10<(a-2)^2$$
$$a^2-5a-6>0$$
$$ (a-6)(a+1)>0 $$
$$a<-1 \text{ или } a>6$$
С учётом $$a>2$$ получаем:
Ответ: $$ (6;+\infty) $$
