Задание 2 Параграф 9 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: 2. Заполните таблицу свойств функции у = ах^2, а ? 0.
Рассмотрим функцию $$y=ax^2,\quad a\ne 0.$$
Это квадратичная функция. При любом значении $$a$$ её область определения — все действительные числа:
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Если $$a>0,$$ то парабола направлена ветвями вверх, поэтому наименьшее значение функции равно $$0$$ и достигается при $$x=0.$$ Тогда
$$E(y)=[0;+\infty).$$
Если $$a<0,$$ то парабола направлена ветвями вниз, поэтому наибольшее значение функции равно $$0$$ и достигается при $$x=0.$$ Тогда
$$E(y)=(-\infty;0].$$
Нуль функции в обоих случаях один:
$$ax^2=0 \Rightarrow x=0.$$
Знак функции зависит от знака коэффициента $$a$$: при $$a>0$$ имеем $$y>0$$ при всех $$x\ne 0,$$ а при $$a<0$$ — $$y<0$$ при всех $$x\ne 0.$$
Так как вершина параболы находится в точке $$x=0,$$ то при $$a>0$$ функция возрастает на $$[0;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;0],$$ а при $$a<0$$ — наоборот.
| Свойство | $$a>0$$ | $$a<0$$ |
|---|---|---|
| Область определения | $$(-\infty;+\infty)$$ | $$(-\infty;+\infty)$$ |
| Область значений | $$[0;+\infty)$$ | $$(-\infty;0]$$ |
| Нули функции | $$x=0$$ | $$x=0$$ |
| Промежутки знакопостоянства | $$y>0$$ на $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$ | $$y<0$$ на $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$ |
| Возрастает на промежутке | $$[0;+\infty)$$ | $$(-\infty;0]$$ |
| Убывает на промежутке | $$(-\infty;0]$$ | $$[0;+\infty)$$ |
Ответ
Таблица заполнена так: при $$a>0$$ область значений $$[0;+\infty),$$ функция положительна при $$x\ne 0,$$ возрастает на $$[0;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;0];$$ при $$a<0$$ область значений $$(-\infty;0],$$ функция отрицательна при $$x\ne 0,$$ возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty).$$
