Упр.6 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

1) (a+2b)(1/2a + 1/b) > =4,если a > 0, b > 0
2) (a+2)(b+8)(c+4) > =64vabc, если a > =0, b > =0, c > =0

Подробный ответ

Докажем неравенство
$$\left(a+2b\right)\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4,\quad a>0,\ b>0.$$
Рассмотрим разность:
$$ \left(a+2b\right)\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}\right)-4 =\frac{a}{2a}+\frac{a}{b}+\frac{2b}{2a}+\frac{2b}{b}-4 =\frac12+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2-4. $$
$$ =\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-\frac32 =\frac{2a^2+2b^2-3ab}{2ab}. $$
Удобнее преобразовать исходное выражение так:
$$ \left(a+2b\right)\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}\right) =\frac{a}{2a}+\frac{a}{b}+\frac{2b}{2a}+\frac{2b}{b} =\frac12+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2. $$
Тогда
$$ \left(a+2b\right)\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}\right)-4 =\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-\frac32. $$
Но по неравенству AM-GM
$$ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2, $$
значит
$$ \left(a+2b\right)\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}\right)-4\ge 2-\frac32=\frac12>0. $$
Следовательно,
$$ \left(a+2b\right)\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4. $$
Докажем неравенство
$$\left(a+2\right)\left(b+8\right)\left(c+4\right)\ge 64\sqrt{abc},\quad a\ge 0,\ b\ge 0,\ c\ge 0.$$
По неравенству $$x+y\ge 2\sqrt{xy}$$ получаем:
$$ a+2\ge 2\sqrt{2a},\qquad b+8\ge 2\sqrt{8b},\qquad c+4\ge 2\sqrt{4c}. $$
Перемножим эти неравенства:
$$ \left(a+2\right)\left(b+8\right)\left(c+4\right) \ge 2\sqrt{2a}\cdot 2\sqrt{8b}\cdot 2\sqrt{4c}. $$
$$ 2\sqrt{2a}\cdot 2\sqrt{8b}\cdot 2\sqrt{4c} =8\sqrt{2\cdot 8\cdot 4\,abc} =8\sqrt{64abc} =64\sqrt{abc}. $$
Значит,
$$ \left(a+2\right)\left(b+8\right)\left(c+4\right)\ge 64\sqrt{abc}. $$