Упр.56 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Решите уравнение:
1) |x|+|x-6|=8;
2) |x+2|+|x-5|=7;
3) |x-1|-|x-7|=8;
4) |3x+1|-|x-4|=2x-3;

1. $$|x|+|x-6|=8$$

   Рассмотрим промежутки:

   1) $$x<0$$:

   $$-x-(x-6)=8$$

   $$-2x+6=8$$

   $$-2x=2$$

   $$x=-1$$

   2) $$0\le x<6$$:

   $$x-(x-6)=8$$

   $$6=8$$

   Решений нет.

   3) $$x\ge 6$$:

   $$x+(x-6)=8$$

   $$2x-6=8$$

   $$2x=14$$

   $$x=7$$

   Ответ: $$x=-1,\ 7$$.

2. $$|x+2|+|x-5|=7$$

   Рассмотрим промежутки:

   1) $$x<-2$$:

   $$-(x+2)-(x-5)=7$$

   $$-2x+3=7$$

   $$-2x=4$$

   $$x=-2$$

   2) $$-2\le x<5$$:

   $$ (x+2)-(x-5)=7 $$

   $$7=7$$

   Подходит любое $$x$$ из этого промежутка.

   3) $$x\ge 5$$:

   $$ (x+2)+(x-5)=7 $$

   $$2x-3=7$$

   $$2x=10$$

   $$x=5$$

   Итак, $$x\in[-2;5]$$.

3. $$|x-1|-|x-7|=8$$

   Рассмотрим промежутки:

   1) $$x<1$$:

   $$-(x-1)- (-(x-7))=8$$

   $$-x+1+x-7=8$$

   $$-6=8$$

   Решений нет.

   2) $$1\le x<7$$:

   $$ (x-1)- (-(x-7))=8 $$

   $$x-1+x-7=8$$

   $$2x-8=8$$

   $$2x=16$$

   $$x=8$$

   Но $$8\notin[1;7)$$, значит, не подходит.

   3) $$x\ge 7$$:

   $$ (x-1)-(x-7)=8 $$

   $$6=8$$

   Решений нет.

   Корней нет.

4. $$|3x+1|-|x-4|=2x-3$$

   Рассмотрим промежутки:

   1) $$x\ge 4$$:

   $$ (3x+1)-(x-4)=2x-3 $$

   $$2x+5=2x-3$$

   $$5=-3$$

   Решений нет.

   2) $$-\frac13\le x<4$$:

   $$ (3x+1)+(x-4)=2x-3 $$

   $$4x-3=2x-3$$

   $$2x=0$$

   $$x=0$$

   3) $$x<-\frac13$$:

   $$-(3x+1)+(x-4)=2x-3$$

   $$-2x-5=2x-3$$

   $$-4x=2$$

   $$x=-\frac12$$

   Оба значения подходят.

Ответ

1) $$x=-1,\ 7$$; 2) $$x\in[-2;5]$$; 3) корней нет; 4) $$x=-\frac12,\ 0$$.