Упр.121 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
1) x^2-3bx+2b+5=0;
2) bx^2+(7b+2)x+b=0;
3) (b+2) x^2+(3b+1)x-b-1=0;
4) (2b+10) x^2-(4b+8)x+3b=0;
$$x^2-3bx+2b+5=0$$
Чтобы уравнение имело два различных действительных корня, нужно $$D>0$$:
$$D=( -3b)^2-4(2b+5)=9b^2-8b-20.$$
Решим неравенство:
$$9b^2-8b-20>0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D_1=(-8)^2-4\cdot 9\cdot(-20)=64+720=784,$$
$$b_{1,2}=\frac{8\pm 28}{18}, \quad b_1=-\frac{10}{9}, \quad b_2=2.$$
Тогда
$$9b^2-8b-20=(9b+10)(b-2),$$
и поэтому
$$b<-\frac{10}{9} \text{ или } b>2.$$
$$bx^2+(7b+2)x+b=0$$
Если $$b=0$$, уравнение становится линейным, значит два различных корня оно иметь не может. Поэтому рассматриваем $$b\neq 0$$.
Тогда нужно $$D>0$$:
$$D=(7b+2)^2-4\cdot b\cdot b=49b^2+28b+4-4b^2=45b^2+28b+4.$$
Решим неравенство:
$$45b^2+28b+4>0.$$
Найдём корни:
$$D_1=28^2-4\cdot 45\cdot 4=784-720=64,$$
$$b_{1,2}=\frac{-28\pm 8}{90}, \quad b_1=-\frac{2}{5}, \quad b_2=-\frac{2}{9}.$$
Тогда
$$45b^2+28b+4=45\left(b+\frac{2}{5}\right)\left(b+\frac{2}{9}\right),$$
и
$$b<-\frac{2}{5} \text{ или } b>-\frac{2}{9}.$$
С учётом $$b\neq 0$$ получаем:
$$b\in\left(-\infty;-\frac{2}{5}\right)\cup\left(-\frac{2}{9};0\right)\cup(0;+\infty).$$
$$\left(b+2\right)x^2+\left(3b+1\right)x-b-1=0$$
Вычислим дискриминант:
$$D=(3b+1)^2-4(b+2)(-b-1).$$
Упростим:
$$D=9b^2+6b+1+4(b+2)(b+1)=13b^2+18b+9.$$
Для двух различных действительных корней нужно $$D>0$$. Но
$$13b^2+18b+9>0$$
при всех $$b$$, так как
$$18^2-4\cdot 13\cdot 9=324-468=-144<0,$$
а старший коэффициент положителен.
Значит, уравнение имеет два различных действительных корня при всех $$b$$, кроме случая, когда оно становится линейным:
$$b+2=0,\quad b=-2.$$
Следовательно,
$$b\in(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$
$$\left(2b+10\right)x^2-\left(4b+8\right)x+3b=0$$
Найдём дискриминант:
$$D=(4b+8)^2-4(2b+10)\cdot 3b.$$
$$D=16b^2+64b+64-24b^2-120b=-8b^2-56b+64.$$
Для двух различных действительных корней нужно $$D>0$$:
$$-8b^2-56b+64>0.$$
Разделим на $$-8$$, изменив знак неравенства:
$$b^2+7b-8<0.$$
Найдём корни:
$$D_1=7^2+4\cdot 8=49+32=81,$$
$$b_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{2}, \quad b_1=-8,\quad b_2=1.$$
Тогда
$$\left(b+8\right)\left(b-1\right)<0,$$
откуда
$$-8<b<1.$$
Но при $$b=-5$$ старший коэффициент равен нулю, и уравнение становится линейным. Поэтому этот случай исключаем.
Итак,
$$b\in(-8;-5)\cup(-5;1).$$
Ответ
1) $$b\in\left(-\infty;-\frac{10}{9}\right)\cup(2;+\infty)$$
2) $$b\in\left(-\infty;-\frac{2}{5}\right)\cup\left(-\frac{2}{9};0\right)\cup(0;+\infty)$$
3) $$b\in(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$$
4) $$b\in(-8;-5)\cup(-5;1)$$
