Упр.110 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: Парабола у = ах^2 + Ьх + с имеет вершину в точке Е(4; 3) и проходит через точку F( 2; 1). Найдите значения коэффициентов а, b и с.

Для параболы $$y=ax^2+bx+c$$ абсцисса вершины равна

$$x_0=-\frac{b}{2a}.$$

Так как вершина находится в точке $$E(4;3),$$ то

$$-\frac{b}{2a}=4 \Rightarrow b=-8a.$$

Ордината вершины:

$$y_0=\frac{4ac-b^2}{4a}.$$

Подставим $$b=-8a$$ и $$y_0=3$$:

$$3=\frac{4ac-(-8a)^2}{4a}=\frac{4ac-64a^2}{4a}.$$

Умножим на $$4a$$:

$$12a=4ac-64a^2,$$

$$12a=4a(c-16a).$$

Так как $$a\neq 0,$$ получаем

$$c-16a=3,$$

$$c=3+16a.$$

Теперь используем точку $$F(2;1),$$ через которую проходит график:

$$1=a\cdot 2^2+b\cdot 2+c,$$

$$1=4a+2b+c.$$

Подставим $$b=-8a$$ и $$c=3+16a$$:

$$1=4a+2(-8a)+(3+16a),$$

$$1=4a-16a+3+16a,$$

$$1=4a+3,$$

$$4a=-2,$$

$$a=-\frac12.$$

Тогда

$$b=-8\cdot\left(-\frac12\right)=4,$$

$$c=3+16\cdot\left(-\frac12\right)=3-8=-5.$$

Ответ

$$a=-\frac12,\quad b=4,\quad c=-5.$$