Упр.76 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) f(x)=5/(x+2) убывает на промежутке (-2; +бесконечность);
2) f(x)=8x-x^2 возрастает на промежутке (-бесконечность; 4];

1) Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{5}{x+2}$$ на промежутке $$(-2;+\infty).$$

Пусть $$x_2>x_1>-2.$$ Тогда

$$ f(x_2)-f(x_1)=\frac{5}{x_2+2}-\frac{5}{x_1+2} =\frac{5(x_1+2)-5(x_2+2)}{(x_2+2)(x_1+2)} =\frac{5(x_1-x_2)}{(x_2+2)(x_1+2)}. $$

Так как $$x_2>x_1,$$ то $$x_1-x_2<0,$$ а при $$x_1>-2$$ и $$x_2>-2$$ имеем $$x_1+2>0$$ и $$x_2+2>0.$$ Значит,

$$f(x_2)-f(x_1)<0,$$

то есть $$f(x_2)<f(x_1).$$ Следовательно, функция убывает на промежутке $$(-2;+\infty).$$

2) Рассмотрим функцию $$f(x)=8x-x^2$$ на промежутке $$(-\infty;4].$$

Пусть $$x_1<x_2\le 4.$$ Тогда

$$ f(x_2)-f(x_1)=(8x_2-x_2^2)-(8x_1-x_1^2) =8(x_2-x_1)-(x_2^2-x_1^2) $$
$$ =8(x_2-x_1)-(x_2-x_1)(x_2+x_1) =(x_2-x_1)(8-x_2-x_1). $$

Так как $$x_2>x_1,$$ то $$x_2-x_1>0.$$ Кроме того, из $$x_2\le 4$$ и $$x_1<x_2$$ следует $$x_1<4,$$ значит $$x_1+x_2<8,$$ поэтому $$8-x_1-x_2>0.$$ Следовательно,

$$f(x_2)-f(x_1)>0,$$

то есть $$f(x_2)>f(x_1).$$ Значит, функция возрастает на промежутке $$(-\infty;4].$$

Ответ

1) $$f(x)=\frac{5}{x+2}$$ убывает на $$(-2;+\infty).$$
2) $$f(x)=8x-x^2$$ возрастает на $$(-\infty;4].$$