Упр.238 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: Найдите первый член, знаменатель и количество членов конечной геометрической прогрессии (zn), если z5 — z1 = 9, z3 +z1 =3, а сумма всех членов Sn = 153.

Пусть $$z_1=a,\quad q$$ — знаменатель геометрической прогрессии.

Тогда

$$z_5=a q^4,\qquad z_3=a q^2.$$

По условию:

$$z_5-z_1=9,\qquad z_3+z_1=3.$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} a q^4-a=9,\\ a q^2+a=3. \end{cases} $$

Вынесем $a$ за скобки:

$$ \begin{cases} a(q^4-1)=9,\\ a(q^2+1)=3. \end{cases} $$

Выразим $a$ из обоих уравнений:

$$ a=\frac{9}{q^4-1},\qquad a=\frac{3}{q^2+1}. $$

Приравняем:

$$ \frac{9}{q^4-1}=\frac{3}{q^2+1}. $$

Умножим на $q^4-1$ и сократим на $3$:

$$ 9(q^2+1)=3(q^4-1) $$

$$ 3(q^2+1)=q^4-1. $$

Так как $$q^4-1=(q^2-1)(q^2+1),$$ то

$$ 3(q^2+1)=(q^2-1)(q^2+1). $$

Так как $$q^2+1\neq 0,$$ делим на него:

$$ 3=q^2-1, $$

$$ q^2=4,\qquad q=\pm 2. $$

Найдём первый член:

$$ a=\frac{3}{q^2+1}=\frac{3}{4+1}=\frac35=0{,}6. $$

Теперь используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии.

1) Если $$q=2$$, то

$$ S_n=\frac{a(q^n-1)}{q-1}=153. $$

$$ \frac{0{,}6(2^n-1)}{2-1}=153 $$

$$ 0{,}6(2^n-1)=153 $$

$$ 2^n-1=255 $$

$$ 2^n=256=2^8 $$

$$ n=8. $$

2) Если $$q=-2$$, то

$$ S_n=\frac{a(q^n-1)}{q-1}=153. $$

$$ \frac{0{,}6\bigl((-2)^n-1\bigr)}{-2-1}=153 $$

$$ 0{,}6\bigl((-2)^n-1\bigr)=-459 $$

$$ (-2)^n=-764, $$

что невозможно при натуральном $$n$$.

Значит, $$q=2$$, $$n=8$$.

Ответ

$$z_1=0{,}6,\quad q=2,\quad n=8.$$