Упр.5 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) ab(a+b) < =a^3+b^3,если a > =0 и b > =0;
2) m^3+m^2-m-1 > 0,если m > 1;

1) Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$ ab(a+b)-(a^3+b^3)=ab(a+b)-(a+b)(a^2-ab+b^2) $$

$$ =-(a+b)(a^2-2ab+b^2)=-(a+b)(a-b)^2. $$

Так как $$a \ge 0$$ и $$b \ge 0,$$ то $$a+b \ge 0,$$ а также $$ (a-b)^2 \ge 0.$$ Следовательно,

$$ -(a+b)(a-b)^2 \le 0. $$

Значит,

$$ ab(a+b)\le a^3+b^3. $$

2) Преобразуем левую часть:

$$ m^3+m^2-m-1=m^2(m+1)-(m+1)=(m+1)(m^2-1). $$

$$ (m+1)(m^2-1)=(m+1)(m-1)(m+1)=(m+1)^2(m-1). $$

Так как $$m>1,$$ то $$m-1>0,$$ а $$ (m+1)^2>0.$$ Поэтому

$$ (m+1)^2(m-1)>0. $$

Следовательно,

$$ m^3+m^2-m-1>0. $$

Ответ

1) $$ab(a+b)\le a^3+b^3.$$
2) $$m^3+m^2-m-1>0.$$