Упр.130 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) Прямой y=x-3 и параболы y=x^2-4x+3
2) Прямой x-2y+2=0 и окружности x^2+(y-1)^2=5
3) Прямой x+2y-5=0 и окружности (x-1)^2+(y-2)^2=5
4) Двух парабол y=2x^2-3x+1 и y=-x^2+x-1

1. Найдём точки пересечения прямой $$y=x-3$$ и параболы $$y=x^2-4x+3$$:

   $$x-3=x^2-4x+3$$
   $$x^2-5x+6=0$$
   $$D=25-24=1$$
   $$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\quad x_2=\frac{5+1}{2}=3$$

   Тогда
   $$y_1=2-3=-1,\quad y_2=3-3=0.$$

   Точки пересечения: $$ (2;\,-1),\ (3;\,0). $$

2. Найдём точки пересечения прямой $$x-2y+2=0$$ и окружности $$x^2+(y-1)^2=5$$.

   Из уравнения прямой:
   $$x=2y-2.$$

   Подставим в уравнение окружности:
   $$ (2y-2)^2+(y-1)^2=5 $$
   $$ 4y^2-8y+4+y^2-2y+1=5 $$
   $$ 5y^2-10y=0 $$
   $$ 5y(y-2)=0 $$
   $$ y_1=0,\quad y_2=2. $$

   Тогда
   $$x_1=2\cdot 0-2=-2,\quad x_2=2\cdot 2-2=2.$$

   Точки пересечения: $$ (-2;\,0),\ (2;\,2). $$

3. Найдём точки пересечения прямой $$x+2y-5=0$$ и окружности $$ (x-1)^2+(y-2)^2=5. $$

   Из уравнения прямой:
   $$x=5-2y.$$

   Подставим в уравнение окружности:
   $$((5-2y)-1)^2+(y-2)^2=5$$
   $$ (4-2y)^2+(y-2)^2=5 $$
   $$ 16-16y+4y^2+y^2-4y+4=5 $$
   $$ 5y^2-20y+15=0 $$
   $$ y^2-4y+3=0 $$
   $$ D=16-12=4 $$
   $$ y_1=\frac{4-2}{2}=1,\quad y_2=\frac{4+2}{2}=3. $$

   Тогда
   $$x_1=5-2\cdot 1=3,\quad x_2=5-2\cdot 3=-1.$$

   Точки пересечения: $$ (3;\,1),\ (-1;\,3). $$

4. Найдём точки пересечения парабол $$y=2x^2-3x+1$$ и $$y=-x^2+x-1.$$

   Приравняем правые части:
   $$2x^2-3x+1=-x^2+x-1$$
   $$3x^2-4x+2=0.$$

   Дискриминант:
   $$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot 2=16-24=-8.$$

   Так как $$D<0,$$ действительных решений нет, значит, параболы не пересекаются.

Ответ

1) $$ (2;\,-1),\ (3;\,0) $$
2) $$ (-2;\,0),\ (2;\,2) $$
3) $$ (3;\,1),\ (-1;\,3) $$
4) точек пересечения нет