Контрольная работа 2 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Тема. Функция.Квадратичная функция, её график и свойства
1. Функция задана формулой f(x) = 1/3х^2 + 2х. Найдите:
1) f(3) и f(-1);
2) нули функции.
2. Найдите область определения функции:
1) f(x) = (x^2-5)/х2 — 6х -16;
2) f(х) = v(х + 4) + 8/(x^2-9).
3. Постройте график функции f(х) = х^2 + 4х — 5. Используя график, найдите:
1) область значений данной функции;
2) промежуток возрастания функции;
3) множество решений неравенства f(х) < 0. 4. Постройте график функции: 1) f(х) = V(x +4); 2) f(х) = vх+ 4. 5. При каких значениях р и q вершина параболы у = х^2 + рх + q находится в точке B (3; -7)?

1. $$f(x)=\frac13x^2+2x$$

   1) Найдём значения функции:

   $$f(3)=\frac13\cdot 3^2+2\cdot 3=\frac13\cdot 9+6=3+6=9$$

   $$f(-1)=\frac13\cdot (-1)^2+2\cdot (-1)=\frac13-2=-1\frac23$$

   2) Найдём нули функции:

   $$\frac13x^2+2x=0$$

   $$\cdot 3$$

   $$x^2+6x=0$$

   $$x(x+6)=0$$

   $$x=0 \text{ или } x=-6$$

2. 1) $$f(x)=\frac{x^2-5}{x^2-6x-16}$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$x^2-6x-16\ne 0$$

   $$x^2-6x-16=(x-8)(x+2)$$

   $$x\ne 8,\quad x\ne -2$$

   Следовательно,

   $$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;8)\cup(8;+\infty)$$

   2) $$f(x)=\sqrt{x+4}+\frac{8}{x^2-9}$$

   Для корня нужно:

   $$x+4\ge 0 \Rightarrow x\ge -4$$

   Для дроби:

   $$x^2-9\ne 0 \Rightarrow x\ne -3,\; x\ne 3$$

   Тогда

   $$D(f)=[-4;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty)$$

3. $$f(x)=x^2+4x-5$$

   Найдём вершину параболы:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2$$

   $$y_0=f(-2)=(-2)^2+4\cdot(-2)-5=4-8-5=-9$$

   Вершина: $$(-2;-9)$$.

   Нули функции:

   $$x^2+4x-5=0$$

   $$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-5)=16+20=36$$

   $$x=\frac{-4\pm 6}{2}$$

   $$x_1=-5,\quad x_2=1$$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то:

   1) область значений: $$E(f)=[-9;+\infty)$$;

   2) функция убывает на промежутке $$(-\infty;-2]$$;

   3) $$f(x)<0$$ при $$x\in(-5;1)$$.

4. 1) $$f(x)=\sqrt{x+4}$$

   Это график функции $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый на 4 единицы влево.

   Область определения: $$x\ge -4$$.

   2) $$f(x)=\sqrt{x}+4$$

   Это график функции $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый на 4 единицы вверх.

   Область определения: $$x\ge 0$$.

5. Вершина параболы $$y=x^2+px+q$$ имеет координаты $$B(3;-7)$$.

   Абсцисса вершины:

   $$x_0=-\frac{p}{2}=3$$

   $$p=-6$$

   Подставим координаты вершины в формулу:

   $$-7=3^2+(-6)\cdot 3+q$$

   $$-7=9-18+q$$

   $$-7=-9+q$$

   $$q=2$$

Ответ

1) $$9;\ -1\frac23;\ -6;\ 0$$

2) $$(-\infty;-2)\cup(-2;8)\cup(8;+\infty); \quad [-4;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty)$$

3) $$[-9;+\infty); \quad (-\infty;-2]; \quad (-5;1)$$

4) графики функций $$y=\sqrt{x+4}$$ и $$y=\sqrt{x}+4$$

5) $$p=-6,\ q=2$$