Упр.981 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) 2х^2 + ах + а — 2 = 0;
2) (2а — 1)х^2 + (а — 3)х + 1 = 0;
3) ах^2 — (За + 1)х + а = 0?

1. $$2x^2+ax+a-2=0$$

   Чтобы уравнение имело два различных корня, нужно, чтобы дискриминант был положительным:

   $$D=a^2-4\cdot 2\cdot (a-2)=a^2-8a+16=(a-4)^2>0.$$

   Квадрат положителен при всех значениях, кроме нуля, значит

   $$a\ne 4.$$

2. $$\left(2a-1\right)x^2+(a-3)x+1=0$$

   Уравнение должно быть квадратным, поэтому

   $$2a-1\ne 0,\quad a\ne \frac12.$$

   Дискриминант:

   $$D=(a-3)^2-4(2a-1)\cdot 1=a^2-14a+13=(a-1)(a-13).$$

   Для двух различных корней нужно

   $$D>0 \;\Rightarrow\; (a-1)(a-13)>0,$$

   откуда

   $$a\in(-\infty;1)\cup(13;+\infty).$$

   С учётом условия $$a\ne \frac12$$ получаем

   $$a\in(-\infty;\tfrac12)\cup(\tfrac12;1)\cup(13;+\infty).$$

3. $$ax^2-(3a+1)x+a=0$$

   Уравнение квадратное при

   $$a\ne 0.$$

   Дискриминант:

   $$D=(3a+1)^2-4a\cdot a=9a^2+6a+1-4a^2=5a^2+6a+1.$$

   Разложим на множители:

   $$5a^2+6a+1=5\left(a+\frac15\right)(a+1).$$

   Для двух различных корней нужно

   $$5\left(a+\frac15\right)(a+1)>0,$$

   то есть

   $$a\in(-\infty;-1)\cup\left(-\frac15;+\infty\right).$$

   С учётом условия $$a\ne 0$$ получаем

   $$a\in(-\infty;-1)\cup\left(-\frac15;0\right)\cup(0;+\infty).$$

Ответ

1) $$a\in(-\infty;4)\cup(4;+\infty);$$ 2) $$a\in(-\infty;\tfrac12)\cup(\tfrac12;1)\cup(13;+\infty);$$ 3) $$a\in(-\infty;-1)\cup\left(-\tfrac15;0\right)\cup(0;+\infty).$$