Упр.918 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Найдите сумму:
1) периметров всех треугольников;
2) площадей треугольников;
3) длин окружностей;
4) площадей кругов, ограниченных данными окружностями.

Последовательность всех треугольников и всех окружностей образует геометрическую прогрессию.

Для правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $$R$$, его сторона равна

$$a_1=\sqrt{3}R.$$

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $$a$$, равен

$$r=\frac{\sqrt{3}}{6}a.$$

Тогда для первого треугольника

$$r_1=\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot \sqrt{3}R=\frac{R}{2},$$

значит, каждый следующий треугольник получается с коэффициентом

$$q=\frac{1}{2}.$$

1) Сумма периметров всех треугольников

Периметр первого треугольника:

$$P_1=3a_1=3\sqrt{3}R.$$

Тогда

$$S_P=\frac{P_1}{1-q}=\frac{3\sqrt{3}R}{1-\frac12}=6\sqrt{3}R.$$

2) Сумма площадей треугольников

Площадь первого треугольника:

$$S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}a_1^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 3R^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2.$$

Так как при переходе к следующему треугольнику сторона уменьшается в 2 раза, площади уменьшаются в $$4$$ раза, то

$$q=\frac14.$$

Следовательно,

$$S_S=\frac{S_1}{1-q}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2}{1-\frac14}=\sqrt{3}R^2.$$

3) Сумма длин окружностей

Длина первой окружности:

$$L_1=2\pi R.$$

Следующая окружность имеет радиус $$\frac{R}{2}$$, значит,

$$q=\frac12.$$

Тогда

$$S_L=\frac{L_1}{1-q}=\frac{2\pi R}{1-\frac12}=4\pi R.$$

4) Сумма площадей кругов

Площадь первого круга:

$$A_1=\pi R^2.$$

Площади следующих кругов уменьшаются в $$4$$ раза, поэтому

$$q=\frac14.$$

Тогда

$$S_A=\frac{A_1}{1-q}=\frac{\pi R^2}{1-\frac14}=\frac{4}{3}\pi R^2.$$

Ответ

$$1)\ 6\sqrt{3}R;\quad 2)\ \sqrt{3}R^2;\quad 3)\ 4\pi R;\quad 4)\ \frac{4}{3}\pi R^2.$$